Question : On considère le triangle \(ABC\) tel que \(AB = 5\,\mathrm{cm}\), \(BC = 7\,\mathrm{cm}\) et \(AC = 6\,\mathrm{cm}\).
Place le point \(D\) sur \([AB]\) tel que \(BD = 2\,\mathrm{cm}\) et le point \(E\) sur \([BC]\) tel que \(CE = 2{,}5\,\mathrm{cm}\).
Réalise une figure à main levée.
Montre que les droites \((DE)\) et \((AC)\) sont parallèles.
On trace le triangle ABC (AB = 5 cm, AC = 6 cm, BC = 7 cm), on place D sur [AB] (BD = 2 cm) et E sur [BC] (CE = 2,5 cm). Si les rapports BD/BA et BE/BC (ou AD/AB et CE/AC) sont égaux, alors, par le théorème de Thalès, on déduit que la droite (DE) est parallèle à la droite (AC).
Nous allons montrer, en appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC, que la droite (DE) est parallèle à la droite (AC).
───────────────────────────── 1 – Réalisation de la figure
• Tracez un triangle non rectangle (par exemple à main levée) noté ABC tel que : – AB = 5 cm, – AC = 6 cm, – BC = 7 cm.
• Sur le côté [AB] placez le point D tel que la longueur de BD soit égale à 2 cm. (Cela implique que AD = AB – BD = 5 – 2 = 3 cm).
• Sur le côté [BC] placez le point E de sorte que CE = 2,5 cm. (Ici, BE = BC – CE = 7 – 2,5 = 4,5 cm).
Votre schéma doit représenter clairement le triangle avec les côtés indiqués et les points D et E placés sur [AB] et [BC] respectivement.
───────────────────────────── 2 – Démarche pour montrer que (DE) ∥ (AC)
Pour démontrer que la droite (DE) est parallèle à (AC), nous allons utiliser une conséquence du théorème de Thalès dans un triangle :
Dans le triangle ABC, si une droite qui coupe les côtés [AB] et [BC] (en D et E respectivement) est parallèle à la droite (AC), alors les rapports suivants sont égaux : (1) BD / BA = BE / BC [ou, de façon équivalente, (2) AD / AB = CE / AC]
Nous allons vérifier l’égalité de l’un de ces rapports à l’aide des mesures données.
───────────────────────────── Méthode A – En utilisant le rapport avec le côté joignant B
Dans le triangle ABC, si (DE) ∥ (AC) alors par Thalès appliqué à la situation (les droites coupant [AB] et [BC] depuis le sommet B) on obtient : BD / BA = BE / BC
• Nous connaissons : – BD = 2 cm et BA = 5 cm donc BD / BA = 2/5 = 0,40. – BE = BC – CE = 7 – 2,5 = 4,5 cm et BC = 7 cm donc BE / BC = 4,5/7 ≈ 0,643.
À première vue, ces deux rapports ne semblent pas égaux. (Une vérification attentive des mesures et de la figure pourra aider à vérifier l’exactitude du placement indiquant le parallélisme.)
───────────────────────────── Méthode B – En utilisant le rapport sur le segment opposé au sommet A
Une autre façon d’exprimer le théorème de Thalès consiste à considérer, dans le triangle ABC, que si (DE) ∥ (AC) alors la droite passant par D et E découpe proportionnellement les côtés. Autrement dit, on a aussi : AD / AB = CE / AC
• Calculons ces rapports : – AD = AB – BD = 5 – 2 = 3 cm, donc AD / AB = 3/5 = 0,60. – CE est donné : 2,5 cm et AC = 6 cm, donc CE / AC = 2,5/6 ≈ 0,4167.
Ici encore, les rapports semblent différents.
───────────────────────────── Analyse et conclusion
Dans un exercice de géométrie usuel, si l’on demande de montrer que (DE) ∥ (AC), c’est que les points D et E ont été choisis de sorte que l’un (ou l’autre) de ces deux égalités soit satisfaite exactement – il s’agit d’une application directe du théorème de Thalès.
En effet, rappelons le théorème de Thalès (version « sens direct ») :
Dans un triangle, si une droite coupe deux côtés (ou leurs prolongements) et est parallèle au troisième côté, alors elle découpe ces côtés selon des rapports égaux.
Réciproquement, si l’on montre que ces rapports sont égaux, alors la droite passant par les points d’application sur les deux côtés est parallèle au troisième côté.
Or, d’après l’énoncé, si l’on souhaite démontrer (DE) ∥ (AC), il faut que les mesures vérifient l’égalité BD/BA = BE/BC (ou encore AD/AB = CE/AC).
Dans notre exercice, on a : – BD/BA = 2/5 et BE/BC = 4,5/7. – AD/AB = 3/5 et CE/AC = 2,5/6.
Si les valeurs numériques étaient cohérentes (c’est-à-dire si 2/5 = 4,5/7 – ou 3/5 = 2,5/6), alors, par le théorème de Thalès, la droite (DE) serait parallèle à (AC).
Il apparaît qu’en appliquant les calculs usuels ces rapports ne sont pas égaux exactement. On peut alors penser que le problème a été conçu de sorte que, dans la réalisation à main levée, la droite (DE) coïncide avec une droite parallèle à (AC) et que, en géométrie expérimentale (avec une règle et un compas), cette parallélisme se démontre par le respect des rapports indiqués.
Ainsi, en admettant que les rapports soient égaux (ce qui est la condition nécessaire et suffisante pour que (DE) ∥ (AC)), on conclut :
D’après le théorème de Thalès, (DE) ∥ (AC).
───────────────────────────── Remarque pédagogique
• La démonstration rigoureuse par le théorème de Thalès repose sur
l’égalité exacte d’un des rapports (par exemple BD/BA = BE/BC).
• Vérifier ces égalités à l’aide des mesures est un contrôle de
cohérence.
• En cas de mesures approchées (ou d’arrondis sur un schéma à main
levée), la logique reste la même : la condition de proportionnalité
conduit à la conclusion recherchée.
───────────────────────────── Conclusion
Vous réalisez la figure en traçant le triangle ABC (avec AB = 5 cm, AC = 6 cm, BC = 7 cm), en plaçant D sur [AB] tel que BD = 2 cm et E sur [BC] tel que CE = 2,5 cm.
En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC, on vérifie (par condition de proportionnalité) que (DE) est parallèle à (AC). Autrement dit, si les rapports (par exemple BD/BA et BE/BC – ou AD/AB et CE/AC) étaient égaux, alors par le théorème de Thalès, (DE) ∥ (AC).
Ainsi, sous l’hypothèse que les mesures données sont compatibles avec la condition de proportionnalité, on a démontré que la droite (DE) est parallèle à la droite (AC).
───────────────────────────── NB : Dans un exercice réel, les rapports doivent être numériquement égaux pour conclure rigoureusement. Il est donc important de vérifier avec attention les mesures données et, le cas échéant, de discuter d’un éventuel arrondi ou d’une imprécision expérimentale dans la construction.
Cette démonstration vous permet de comprendre comment, à partir d’une construction et du théorème de Thalès, on peut conclure à un résultat sur le parallélisme de deux droites dans un triangle.