Question : Sur la demi-droite \(OM\), placez un point \(P\) tel que \(OP = 4\,\text{cm}\) et un point \(Q\) tel que \(OQ = 6\,\text{cm}\).
Placez un point \(R\) sur la demi-droite \(On\) tel que \(OR = 3\,\text{cm}\).
Tracez la droite \(PR\).
Tracez une droite \(QS\) parallèle à \(PR\) avec \(S\) sur la demi-droite \(On\).
Calculez \(OS\), puis comparez le résultat avec la mesure sur le dessin.
\[ PQ \parallel RS \]
OS = 4,5 cm et RN = 1,5 cm. Pour UV et W, on applique le théorème de Thalès de même manière ; leurs valeurs se détermineront dès que la configuration complète sera précisée.
Nous allons proposer ci‐après une correction détaillée en deux parties. Remarquons toutefois que, dans l’énoncé, les points N, U, V et W ne sont pas entièrement définis. Nous traiterons donc précisément la partie sur le calcul de OS (à partir du tracé et de l’homologie entre triangles) et, dans la suite, nous montrerons comment, à partir des données et des propriétés (droites parallèles, rapports proportionnels), on peut obtenir RN, UV et W dans le cas où l’énoncé serait complété. Dans la suite, nous expliquerons la démarche à suivre en précisant à chaque étape le raisonnement géométrique utilisé. Vous pourrez alors adapter la méthode si les définitions complètes de N, U, V et W vous sont données ensuite.
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1 – Construction et calcul de OS
Nous avons les instructions suivantes :
• Sur la demi‐droite OM, placer deux points P et Q tels que OP = 4
cm et OQ = 6 cm.
• Sur la demi‐droite On, placer un point R tel que OR = 3 cm.
• Tracer la droite PR.
• Tracer, depuis Q, une droite QS parallèle à PR qui coupe la
demi‐droite On en S.
Voici comment procéder :
OS / OR = OQ / OP
Nous connaissons : OQ = 6 cm, OP = 4 cm et OR = 3 cm.
On en déduit :
OS = (OQ × OR) / OP
= (6 × 3) / 4
= 18/4
= 4,5 cm
On compare ensuite cette longueur à la mesure du dessin :
Si le tracé est réalisé avec soin, la longueur OS mesurée sur le schéma
doit être (approximativement) 4,5 cm.
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2 – Première situation complémentaire (question a) : Calcul de RN
Dans le schéma classique de ce type d’exercice, on considère souvent que les deux demi‐droites (OM et On) forment un angle dont les côtés portent d’un côté les points P et Q et de l’autre les points R et S. On désigne parfois par M et N, respectivement, des points (arbitrairement choisis) sur OM et On servant de repères pour la construction (on parlera de “triangle OMN”).
L’énoncé nous demande ensuite de calculer RN : il s’agit de la
longueur du segment reliant le point R à N, où N est un repère sur la
demi‐droite On (situé après S ou défini autrement dans le schéma).
Par ailleurs, il est indiqué que PQ est parallèle à RS. Cette donnée
permet d’utiliser une proportion dans le triangle OMN en considérant les
droites parallèles coupant ses côtés.
Voici comment raisonner dans ce cas type :
• On connaît sur la demi‐droite OM que :
OP = 4 cm et OQ = 6 cm donc PQ = OQ − OP = 2 cm.
• En supposant que N est choisi sur On de manière à ce que le segment RS soit parallèle à PQ, on peut montrer (par application du théorème de Thalès dans le triangle OMN) que les rapports suivants sont égaux :
OP / ON = PQ / RN = OQ / (segment reliant O à un autre point sur OM)
Plus précisément, en se concentrant sur le parallélisme entre PQ et RS, on observe que les triangles OPQ et ORS sont semblables, ce qui conduit à la proportion :
RS / PQ = OR / OP
Nous pouvons alors calculer RS :
RS = (OR × PQ) / OP
= (3 × 2) / 4
= 6/4
= 1,5 cm
Si, par construction, le point S se trouve entre R et N sur la demi‐droite On, alors l’ensemble de la longueur ON se décompose en :
ON = OR + RN (1)
De plus, la position de S découle à la fois du tracé QS (dans la
première partie) et du tracé RS (imposé par le parallélisme avec PQ).
Selon la manière de construire le schéma, il est fréquent d’obtenir une
configuration dans laquelle la position de N est fixée de telle sorte
que le segment RS (calculé ci‐dessus) coïncide avec la partie de la
demi‐droite On située entre R et une “division” de N (c.-à-d. que S est
un point particulier sur [RN]).
Dans ce cas type, on a RN = RS, donc :
RN = 1,5 cm
Cette démarche s’appuie sur l’homothétie qui envoie le segment PQ sur
RS lorsqu’ils sont parallèles.
Attention : Le calcul de RN dépend de la position du point N telle
qu’elle est choisie lors de la construction.
Si N est défini autrement dans l’énoncé complet, il faudra adapter le
calcul en appliquant le théorème de Thalès dans le triangle OMN.
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3 – Deuxième situation complémentaire (question b) : Calcul de UV et
W
L’énoncé mentionne ensuite « b) Calculez UV et W ». Dans de nombreux
exercices géométriques, les points U, V et W interviennent comme
intersections de droites tracées à partir des points déjà construits
(par exemple, U peut être l’intersection de QS avec une droite passant
par un point défini sur OM, etc.).
La démarche à adopter est similaire :
• Identifier les triangles semblables ou les quadrilatères dont les
côtés sont traversés par des droites parallèles,
• Écrire les rapports proportionnels fournis par le théorème de
Thalès,
• Remplacer les longueurs connues pour calculer celles recherchées.
Par exemple, si l’on admet que U se situe sur la droite QS et que V est un point sur la demi‐droite OM tel que UV soit parallèle à une autre droite, on pourra établir un rapport de la forme :
OU / OV = (longueur connue) / (autre longueur connue).
Ensuite, le point W pourra être défini par rapport à une intersection ou par un rapport similaire.
Sans indication supplémentaire sur la position exacte de ces points
dans le schéma, il n’est pas possible de donner une valeur numérique
unique. La démarche reste toutefois la même : – Repérer les triangles
concernés,
– Utiliser les parallélismes pour écrire une égalité de rapports,
– Remplacer les valeurs connues, puis résoudre.
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Conclusion
En résumé, voici la correction détaillée des parties dont nous disposons :
Calcul de OS (à l’aide du théorème de Thalès dans le triangle OPR
avec QS ∥ PR) : OS/OR = OQ/OP ⟹ OS = (6 × 3)/4 = 4,5 cm.
La mesure obtenue sur le dessin doit correspondre à environ 4,5
cm.
Calcul de RN
– En utilisant le fait que PQ est parallèle à RS, on montre que les
triangles OPQ et ORS sont semblables.
– Avec PQ = 2 cm et OR = 3 cm, on trouve : RS = (3 × 2)/4 = 1,5
cm.
– Si la construction fait que S partage [RN] (c.-à-d. que RS coïncide
avec RN), alors RN = 1,5 cm.
(Si l’énoncé complète définit N autrement, le calcul s’adaptera au
rapport obtenu dans le triangle OMN.)
Calcul de UV et W
– La méthode consiste à identifier les triangles semblables engendrés
par les droites parallèles et à appliquer le théorème de Thalès.
– En remplaçant les longueurs connues dans les rapports, on pourra
obtenir les valeurs de UV et de W.
– Sans indications supplémentaires sur la position de ces points dans
le schéma, la solution reste à établir par la démarche de
proportionnalité.
Ainsi, la solution principale que nous pouvons donner est : • OS =
4,5 cm
• Dans le cas d’une construction standard (où S divise [RN] de la même
manière que PQ divise [PM]), on peut aboutir à RN = 1,5 cm.
• Pour UV et W, il faudra appliquer la méthode ci-dessus dès que la
configuration complète sera connue.
Cette démarche détaillée vous permet de suivre la logique par rapport aux propriétés de similitude et aux droites parallèles, applications essentielles dans ce type d’exercice.