Question: Claire affirme pouvoir déterminer la hauteur d’un mât. Quelle méthode utilise-t-elle ?
Claire utilise les triangles semblables en comparant les ombres d’un bâton de 1,5 mètre et du mât. En appliquant la proportion \(\frac{1,5}{2} = \frac{H}{6}\), elle calcule que la hauteur du mât est de 4,5 mètres.
Correction détaillée : Détermination de la hauteur d’un mât
Claire souhaite déterminer la hauteur d’un mât. Pour ce faire, elle utilise la méthode des triangles semblables en se basant sur les ombres projetées. Voici les étapes qu’elle suit :
Les triangles semblables ont les mêmes angles, mais des côtés proportionnels. Cela signifie que si deux triangles sont semblables, les rapports entre leurs côtés correspondants sont égaux.
Pour appliquer cette méthode, Claire doit mesurer deux longueurs :
Hauteur de l’objet de référence : Par exemple, la hauteur d’un bâton ou d’un poteau dont la hauteur est connue. Supposons que ce bâton mesure \(h_1\) mètres.
Longueur de l’ombre de l’objet de référence : Mesurée au sol, notée \(l_1\) mètres.
Longueur de l’ombre du mât : Mesurée au sol, notée \(l_2\) mètres.
En utilisant les triangles semblables formés par l’objet de référence et le mât avec leurs ombres respectives, Claire peut établir la proportion suivante :
\[ \frac{h_1}{l_1} = \frac{H}{l_2} \]
où : - \(h_1\) est la hauteur de l’objet de référence, - \(l_1\) est la longueur de son ombre, - \(H\) est la hauteur du mât que Claire souhaite déterminer, - \(l_2\) est la longueur de l’ombre du mât.
Pour trouver \(H\), Claire réorganise l’équation :
\[ H = \frac{h_1 \times l_2}{l_1} \]
Supposons que : - Le bâton de référence mesure \(h_1 = 1.5\) mètres, - L’ombre du bâton est \(l_1 = 2\) mètres, - L’ombre du mât est \(l_2 = 6\) mètres.
En appliquant la formule :
\[ H = \frac{1.5 \times 6}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ mètres} \]
Ainsi, la hauteur du mât est de 4,5 mètres.
En utilisant les propriétés des triangles semblables et en mesurant les ombres, Claire peut déterminer efficacement la hauteur du mât sans avoir besoin de grimper ou d’utiliser des instruments complexes.