Exercice 25

Question : Deux sœurs ont hérité d’un terrain triangulaire \(DEF\) rectangle en \(D\). Le côté \(DE\) mesure \(60\,\text{m}\). Elles décident de le partager équitablement en érigeant une barrière \(PQ\) parallèle au côté \(DF\).

À quel emplacement doit-on placer la barrière pour que le partage soit équitable ?

Réponse

La barrière doit être placée à \(30 \sqrt{2}\) mètres de \(D\) le long de \(DE\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Nous devons déterminer où placer la barrière \(PQ\) parallèle au côté \(DF\) du triangle rectangle \(DEF\) afin de partager équitablement le terrain entre les deux sœurs. Voici les étapes détaillées pour résoudre ce problème.

1. Analyse du Triangle et des Données

• Triangle \(DEF\) :
  • Il est rectangle en \(D\).
    
  • Le côté \(DE\) mesure \(60\,\text{m}\).
    
  • \(DF\) est l’autre côté adjacent à l’angle droit en \(D\).
    
  • \(EF\) est l’hypoténuse.
• Barrière \(PQ\) :
  • Elle est parallèle au côté \(DF\).
    
  • Elle doit diviser le terrain en deux parties de même aire.

2. Propriétés des Triangles Similaires

Puisque \(PQ\) est parallèle à \(DF\), le triangle \(DPQ\) est semblable au triangle \(DEF\) (par le théorème de Thalès). Cela implique que les longueurs correspondantes des triangles sont proportionnelles.

3. Expression des Aires en Fonction de la Position de \(PQ\)

• Suppositions :

  • Soit \(x\) la longueur de \(DP\) le long de \(DE\).
    
  • Par similarité, la longueur correspondante sur \(DF\) sera proportionnelle.

• Rapport de Similarité :
  \[ \frac{DP}{DE} = \frac{PQ}{DF} = \frac{x}{60} \]

• Calcul de l’Aire :

  • Aire du triangle \(DEF\) :
    \[ \text{Aire}_{DEF} = \frac{1}{2} \times DE \times DF = \frac{1}{2} \times 60 \times DF = 30 \times DF \]

  • Aire du triangle \(DPQ\) :
    \[ \text{Aire}_{DPQ} = \frac{1}{2} \times DP \times PQ = \frac{1}{2} \times x \times \left( \frac{x}{60} \times DF \right) = \frac{1}{2} \times \frac{x^2}{60} \times DF = \frac{x^2}{120} \times DF \]

4. Équation pour l’Équité des Aires

Pour que le partage soit équitable, l’aire de \(DPQ\) doit être la moitié de celle de \(DEF\) :

\[ \frac{x^2}{120} \times DF = \frac{30 \times DF}{2} = 15 \times DF \]

En simplifiant :

\[ \frac{x^2}{120} = 15 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 15 \times 120 = 1800 \]

\[ x = \sqrt{1800} = \sqrt{100 \times 18} = 10 \times \sqrt{18} = 10 \times 3 \sqrt{2} = 30 \sqrt{2}\,\text{m} \]

5. Conclusion

La barrière \(PQ\) doit être placée à une distance de \(30 \sqrt{2}\,\text{m}\) le long du côté \(DE\) à partir du point \(D\) pour garantir que le terrain soit partagé équitablement entre les deux sœurs.

Réponse finale :
La barrière doit être placée à \(30 \sqrt{2}\,\text{m}\) de \(D\) le long de \(DE\).