Exercice 24

Question : Les segments \(BE\) et \(CF\) se rencontrent en \(D\).

Le segment \(GH\) est parallèle au segment \(CF\).

Les segments \(BD\) et \(BG\) sont-ils isométriques ?

Réponse

En appliquant une translation qui envoie D sur G (parallèle à CF et GH), on conserve les distances, donc BD = BG.

Corrigé détaillé

Nous allons montrer que, d’après la construction, il existe un déplacement qui envoie D sur G et qui préserve les longueurs. Autrement dit, on va prouver que, dans la configuration donnée, la distance BD est égale à la distance BG.

Voici un raisonnement détaillé :

1. Considérons la figure suivante (il est très utile de la dessiner) : on place trois points B, E et F tels que le segment BE et le segment CF se coupent en D. On trace ensuite la droite passant par un point G (situé sur BE, mais en général différent du point D) de manière que le segment GH soit parallèle à CF.

2. La propriété importante est la suivante : toute translation (déplacement qui glisse tout le plan dans une direction fixe) conserve les distances. Cela signifie qu’après une translation, la carte des longueurs ne change pas.

3. Dans notre configuration, on peut remarquer que :   • La droite CF et la droite GH sont parallèles.   • Ainsi, il est possible de « glisser » le point D le long d’un vecteur parallèle à CF (et donc à GH) afin d’obtenir le point G. On peut donc imaginer qu’il existe une translation de vecteur u (dont la direction est donnée par CF) telle que cette translation envoie D sur G.

4. Puisque la translation est un mouvement qui conserve les longueurs, on a nécessairement :   Distance entre B et D = Distance entre l’image de B et l’image de D. Cependant, dans le déplacement, B reste fixe (on réalise la translation par rapport à D) et D est envoyé sur G. En d’autres termes, la translation envoie le segment BD sur le segment BG sans modifier sa longueur. Cela conduit directement à la conclusion que BD et BG sont de même longueur, c’est-à-dire isométriques.

5. Conclusion : En utilisant le fait que la droite GH est parallèle à CF, on montre qu’il existe une translation (mouvement rigoureux qui conserve toutes les distances) envoyant D sur G. Par cette propriété, la distance du point B à D est la même que celle du point B à G, d’où BD = BG.

Ainsi, la réponse à la question est : oui, les segments BD et BG sont isométriques.