Exercice 23

Question : On considère un triangle \(ABC\), rectangle en \(A\), ainsi que sa hauteur \(AD\).
Le cercle de Thalès du segment \(AD\) intersecte \(AB\) en \(M\) et \(AC\) en \(N\).
Que peut-on dire du quadrilatère \(AMND\) ?

Réponse

Le quadrilatère \(AMND\) est un rectangle.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Question :

On considère un triangle \(ABC\), rectangle en \(A\), ainsi que sa hauteur \(AD\).
Le cercle de Thalès du segment \(AD\) intersecte \(AB\) en \(M\) et \(AC\) en \(N\).
Que peut-on dire du quadrilatère \(AMND\) ?

Solution :

1. Compréhension de la configuration géométrique :

   • Triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) : Cela signifie que l’angle en \(A\), noté \(\angle BAC\), est de \(90^\circ\).

   • Hauteur \(AD\) : Dans un triangle, la hauteur relative à un côté est une droite perpendiculaire à ce côté passant par le sommet opposé. Ici, \(AD\) est la hauteur relative à l’hypoténuse \(BC\), donc \(AD \perp BC\).

   • Cercle de Thalès du segment \(AD\) : Selon le théorème de Thalès, le cercle de Thalès d’un segment est le cercle dont ce segment est un diamètre. Ainsi, le cercle de Thalès de \(AD\) a pour diamètre \(AD\).

   • Points d’intersection \(M\) et \(N\) : Le cercle de Thalès intersecte le côté \(AB\) en un point \(M\) différent de \(A\) et le côté \(AC\) en un point \(N\) différent de \(A\).

   • Objectif : Déterminer les propriétés du quadrilatère \(AMND\).

2. Propriétés du cercle de Thalès :

   • Théorème de Thalès : Tout angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit. Donc, dans le cercle de Thalès de \(AD\), tout point inscrit autre que \(A\) et \(D\) forme un angle droit avec \(A\) et \(D\).

3. Analyse des angles dans le quadrilatère \(AMND\) :

   • Angles \(\angle AMD\) et \(\angle AND\) :
     • Puisque \(M\) et \(N\) sont sur le cercle de Thalès de \(AD\), les angles \(\angle AMD\) et \(\angle AND\) sont droits, c’est-à-dire : \[ \angle AMD = \angle AND = 90^\circ \]
   • Angles \(\angle MAN\) et \(\angle DNM\) :
     • Ces angles sont situés au sommet de \(A\) et \(D\) dans le quadrilatère \(AMND\). Leur somme doit être de \(180^\circ\) car la somme des angles internes d’un quadrilatère est \(360^\circ\) et les deux autres angles sont droits.

4. Conclusion sur le quadrilatère \(AMND\) :

   • Angles droits consécutifs : Le quadrilatère \(AMND\) a deux angles consécutifs droits (\(\angle AMD\) et \(\angle AND\)).

   • Parallélisme des côtés opposés :

     • Les côtés \(AM\) et \(DN\) sont perpendiculaires à \(AD\), donc ils sont parallèles entre eux.
     • De même, les côtés \(AN\) et \(DM\) sont parallèles puisque chacun est perpendiculaire à l’autre côté parallèle.

   • Propriété d’un rectangle : Un quadrilatère avec deux paires de côtés parallèles et tous ses angles droits est un rectangle.

Réponse finale :

Le quadrilatère \(AMND\) est un rectangle.