Exercice 22

Question :

  1. Trace un triangle \(ABC\) rectangle en \(C\) tel que \(AC = 3{,}0 \, \text{cm}\) et \(BC = 4{,}0 \, \text{cm}\). Place un point \(D\) sur le segment \([AC]\) tel que \(AD = 1{,}8 \, \text{cm}\) et un point \(E\) sur le segment \([AB]\) tel que \(AE = 2{,}5 \, \text{cm}\).

  2. Démontrer que les droites \((BC)\) et \((DE)\) sont parallèles.

Réponse

Résumé :

Après avoir construit le triangle \(ABC\) rectangle en \(C\) et placé les points \(D\) et \(E\), il a été démontré que les rapports \(\frac{AD}{AC}\) et \(\frac{AE}{AB}\) ne sont pas égaux. Par conséquent, les droites \(DE\) et \(BC\) ne sont pas parallèles.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Partie a : Construction du triangle et des points \(D\) et \(E\)

Étape 1 : Tracer le triangle \(ABC\) rectangle en \(C\)

  1. Dessiner le côté \(AC\) :
    • Trace un segment de longueur \(3{,}0 \, \text{cm}\) et nomme ses extrémités \(A\) et \(C\).
  2. Dessiner le côté \(BC\) :
    • À partir du point \(C\), trace un segment perpendiculaire à \(AC\) de longueur \(4{,}0 \, \text{cm}\) et nomme l’extrémité \(B\).
  3. Tracer l’hypoténuse \(AB\) :
    • Relie les points \(A\) et \(B\) pour compléter le triangle \(ABC\) rectangle en \(C\).

Étape 2 : Placer le point \(D\) sur le segment \([AC]\)

  1. Mesurer \(AD = 1{,}8 \, \text{cm}\) :
    • À partir du point \(A\), mesure \(1{,}8 \, \text{cm}\) le long de \(AC\) et place le point \(D\).

Étape 3 : Placer le point \(E\) sur le segment \([AB]\)

  1. Mesurer \(AE = 2{,}5 \, \text{cm}\) :
    • À partir du point \(A\), mesure \(2{,}5 \, \text{cm}\) le long de \(AB\) et place le point \(E\).

Résultat : Vous obtenez ainsi le triangle \(ABC\) avec les points \(D\) et \(E\) positionnés selon les mesures données.

Partie b : Démonstration que les droites \((BC)\) et \((DE)\) sont parallèles

Pour démontrer que les droites \((BC)\) et \((DE)\) sont parallèles, nous pouvons utiliser le théorème des triangles semblables.

Étape 1 : Analyser les triangles \(ABC\) et \(ADE\)

  1. Triangles \(ABC\) et \(ADE\) sont-ils semblables ?
    • Oui, car ils sont tous les deux rectangles en \(C\) et \(ADE\) partage l’angle en \(A\) avec \(ABC\).
    • Donc, les angles correspondants sont égaux.
  2. Rapports des côtés :
    • \(\frac{AD}{AC} = \frac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6\)
    • \(\frac{AE}{AB} = \frac{2{,}5}{5{,}0} = 0{,}5\) (Note : Calculons \(AB\) pour confirmer)

Étape 2 : Calculer la longueur de \(AB\)

  1. Utiliser le théorème de Pythagore : \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3{,}0^2 + 4{,}0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5{,}0 \, \text{cm} \]

Étape 3 : Vérifier la similitude des triangles \(ADE\) et \(ABC\)

  1. Rapport des côtés : \[ \frac{AD}{AC} = \frac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6 \quad \text{et} \quad \frac{AE}{AB} = \frac{2{,}5}{5{,}0} = 0{,}5 \]

    • Il semble y avoir une erreur, les rapports ne sont pas égaux.

    Corrigeons l’approche :

    Plutôt que de comparer \(ADE\) avec \(ABC\), considérons les directions des droites.

Étape 4 : Démontrer que les vecteurs \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{DE}\) ont le même coefficient directeur

  1. Déterminer les coordonnées des points :

    Supposons que le point \(C\) est à l’origine, donc \(C(0,0)\), \(A(3,0)\), et \(B(0,4)\).

  2. Coordonnées du point \(D\) : \[ D(1{,}8,0) \]

  3. Coordonnées du point \(E\) :

    • Trouvons les coordonnées de \(E\) sur \(AB\).
    • Équation de \(AB\): \[ AB : y = -\frac{4}{3}x + 4 \]
    • Pour \(AE = 2{,}5 \, \text{cm}\), trouver \(E\).

    Calculons le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : \[ \overrightarrow{AB} = (-3,4) \]

    • Longueur de \(AB = 5{,}0 \, \text{cm}\).
    • \(AE = 2{,}5 \, \text{cm} = \frac{1}{2} AB\), donc : \[ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \left(-\frac{3}{2}, 2\right) \]
    • Coordonnées de \(E\) : \[ E = A + \overrightarrow{AE} = (3,0) + \left(-\frac{3}{2}, 2\right) = \left(\frac{3}{2},2\right) \]

  4. Calcul des coordonnées de \(DE\) : \[ D(1{,}8,0) \quad \text{et} \quad E\left(\frac{3}{2},2\right) = E(1{,}5,2) \]

  5. Calcul du coeff. directeur de \(BC\) :

    • \(B(0,4)\) et \(C(0,0)\)
    • Droite verticale, coefficient directeur \(k_{BC} = \text{indéfini}\)

  6. Calcul du coeff. directeur de \(DE\) :

    • \(D(1{,}8,0)\) et \(E(1{,}5,2)\)
    • Coefficient directeur : \[ k_{DE} = \frac{2 - 0}{1{,}5 - 1{,}8} = \frac{2}{-0{,}3} = -\frac{20}{3} \]
    • Les deux droites ne sont pas verticales, conclusion incorrecte.

Étape 5 : Utiliser un autre théorème

Revenons à une approche plus simple en utilisant les propriétés des segments proportionnels dans un triangle.

  1. Segments \(DE\) et \(BC\) sont en proportion.
    • \(AD = 1{,}8 \, \text{cm}\) sur \(AC = 3{,}0 \, \text{cm}\), donc : \[ \frac{AD}{AC} = \frac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6 = \frac{3}{5} \]
    • \(AE = 2{,}5 \, \text{cm}\) sur \(AB = 5{,}0 \, \text{cm}\), donc : \[ \frac{AE}{AB} = \frac{2{,}5}{5{,}0} = 0{,}5 = \frac{1}{2} \]
    • Les rapports ne sont pas égaux, ce qui indique une erreur dans l’approche initiale.

Étape 6 : Utiliser les vecteurs ou une autre méthode géométrique

Pour simplifier, utilisons une approche basée sur les propriétés des parallèles dans les triangles.

  1. Considérer les droites \(DE\) et \(BC\) dans le triangle \(ABC\).

  2. Appliquer le théorème de Thalès :

    • Si une droite coupe deux côtés d’un triangle de manière proportionnelle, alors cette droite est parallèle au troisième côté.

  3. Vérifier les proportions :

    • \(\frac{AD}{AC} = \frac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6 = \frac{3}{5}\)
    • \(\frac{AE}{AB} = \frac{2{,}5}{5{,}0} = 0{,}5 = \frac{1}{2}\)
    • Les ratios ne sont pas égaux, indiquant une possible erreur dans l’application du théorème.

Étape 7 : Conclusion correcte

Il semble qu’une erreur soit survenue dans les calculs précédents. Revisons les étapes pour confirmer l’application correcte du théorème de Thalès.

  1. Relier les points correctement :
    • En réalité, pour appliquer Thalès, il faut que les segments soient proportionnels entre les deux côtés du triangle.
    • Si \(DE\) coupe \(AC\) et \(AB\), alors : \[ \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} \]
    • Calculons : \[ \frac{AD}{AC} = \frac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6 = \frac{3}{5} \\ \frac{AE}{AB} = \frac{2{,}5}{5{,}0} = 0{,}5 = \frac{1}{2} \]
    • Les rapports ne sont pas égaux, ce qui indique que \(DE\) n’est pas parallèle à \(BC\) selon Thalès.

Correction de l’interprétation initiale :

En réalité, si les rapports ne sont pas égaux, alors les droites ne sont pas parallèles. Cependant, la question demande de démontrer qu’elles sont parallèles. Cela suggère une possible erreur dans les mesures données ou dans l’interprétation des points.

Étape 8 : Revoir les positions des points

  1. Vérifier les positions des points \(D\) et \(E\):
    • Peut-être que \(E\) doit être placé différemment pour que les ratios soient égaux.
  2. Calculons ce que devrait être \(AE\) pour que \(\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}\): \[ \frac{AD}{AC} = \frac{1{,}8}{3{,}0} = 0{,}6 \\ \frac{AE}{AB} = 0{,}6 \implies AE = 0{,}6 \times AB = 0{,}6 \times 5{,}0 = 3{,}0 \, \text{cm} \]
    • Pourtant, la question indique \(AE = 2{,}5 \, \text{cm}\), ce qui ne correspond pas.

Étape 9 : Conclusion finale

Il y a une incohérence entre les mesures données dans la question et la conclusion à démontrer. Pour que \(DE\) soit parallèle à \(BC\), les rapports \(\frac{AD}{AC}\) et \(\frac{AE}{AB}\) doivent être égaux. Avec les mesures \(AD = 1{,}8 \, \text{cm}\) et \(AE = 2{,}5 \, \text{cm}\), les rapports ne sont pas identiques, ce qui empêche \(DE\) d’être parallèle à \(BC\).

Remarque : Vérifiez les mesures ou la position des points pour assurer la validité de la démonstration.

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