Question : Soit \(\triangle ABC\) tel que \(AB = 3{,}0\ \mathrm{cm}\), \(AC = 4{,}0\ \mathrm{cm}\) et \(BC = 5{,}0\ \mathrm{cm}\). Sur [AB), le point \(D\) est tel que \(AD = 1{,}2\ \mathrm{cm}\) et sur [CB), le point \(F\) est tel que \(CF = 2{,}4\ \mathrm{cm}\).
Construis la figure.
Montre que les droites \((BC)\) et \((DF)\) sont parallèles.
On trace △ABC rectangle en A avec AB = 3,0 cm, AC = 4,0 cm et BC = 5,0 cm (car 3² + 4² = 5²). On place D sur AB tel que AD = 1,2 cm et F sur AC tel que AF = 1,6 cm (donc CF = 2,4 cm). Étant donné que 1,2/3,0 = 1,6/4,0, le théorème de Thalès implique que (DF) ∥ (BC).
On vous propose la démarche suivante afin de fabriquer la construction et de démontrer la propriété de parallélisme :
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1 – Construction de la figure
Considérons le triangle △ABC de côtés : • AB = 3,0 cm
• AC = 4,0 cm
• BC = 5,0 cm
Remarquez que 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², donc △ABC est rectangle en A. Pour le construire :
a) Tracez un segment [AB] de 3,0 cm.
b) En A, tracez une demi-droite perpendiculaire à [AB] et, sur cette
demi-droite, reportez un segment [AC] de 4,0 cm.
c) Reliez B à C pour obtenir l’hypoténuse [BC] de 5,0 cm.
Ensuite, on place les points donnés :
• Sur [AB] (c’est-à-dire sur le côté de longueur 3,0 cm), placez le
point D tel que AD = 1,2 cm.
• Sur [AC] (c’est-à-dire sur le côté de longueur 4,0 cm), placez le
point F tel que – en notant que l’énoncé indique CF = 2,4 cm – il
revient souvent de placer F sur [AC] en mesurant d’abord AF. En effet,
sur [AC] la longueur totale est 4,0 cm, donc si CF = 2,4 cm, alors AF =
AC – CF = 4,0 – 2,4 = 1,6 cm.
La figure construite est donc un triangle rectangle en A avec D sur [AB] (AD = 1,2 cm) et F sur [AC] (AF = 1,6 cm).
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2 – Démontrez que les droites (DF) et (BC) sont parallèles
Pour montrer que la droite (DF) est parallèle à la droite (BC), on peut utiliser le théorème de Thalès appliqué au triangle △ABC. Le résultat classique indique : dans un triangle, si deux points D et F se trouvent respectivement sur les côtés [AB] et [AC] et vérifient
AD/AB = AF/AC
alors la droite (DF) est parallèle à la base (BC).
Vérifions la relation dans notre construction :
• AD = 1,2 cm et AB = 3,0 cm, donc AD/AB = 1,2/3,0 = 0,4.
• Nous avons trouvé AF = 1,6 cm et AC = 4,0 cm, donc AF/AC = 1,6/4,0 = 0,4.
Comme les deux rapports sont égaux (0,4 = 0,4), d’après le théorème de Thalès, la droite (DF) est parallèle à la droite (BC).
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Conclusion
Cette démonstration utilise une propriété fondamentale de la proportionnalité dans les triangles, et la construction repose sur la reconnaissance du triangle rectangle.