Exercice 20

Question : Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 5\,\text{cm}\), \(BC = 3\,\text{cm}\) et \(AC = 4{,}2\,\text{cm}\). Soit \(D\) un point de \([BC)\) tel que \(BD = 5\,\text{cm}\). Trace une parallèle à \((AC)\) passant par \(D\). Cette parallèle coupe \([AB)\) en \(E\).

1. Construit la figure.

2. Calcule \(AE\) et \(DE\).

Réponse

Réponse courte :

Après construction du triangle \(ABC\) et placement du point \(D\) sur \(BC\), la parallèle à \(AC\) passant par \(D\) intersecte \(AB\) en \(E\). En appliquant le théorème de Thalès, on trouve les longueurs suivantes : - \(AE \approx 3{,}57\,\text{cm}\) - \(DE = 3\,\text{cm}\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question :

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 5\,\text{cm}\), \(BC = 3\,\text{cm}\) et \(AC = 4{,}2\,\text{cm}\). Soit \(D\) un point de \([BC)\) tel que \(BD = 5\,\text{cm}\). Trace une parallèle à \((AC)\) passant par \(D\). Cette parallèle coupe \([AB)\) en \(E\).

a. Construction de la figure

Pour construire la figure décrite dans l’énoncé, suivons les étapes suivantes :

1. Tracer le triangle \(ABC\) :
   • Étape 1 : Tracez le segment \(AB\) de \(5\,\text{cm}\).
   • Étape 2 : À partir du point \(B\), tracez le segment \(BC\) de \(3\,\text{cm}\).
   • Étape 3 : Reliez les points \(A\) et \(C\) pour former le triangle \(ABC\), avec \(AC = 4{,}2\,\text{cm}\).

   

2. Placer le point \(D\) sur \([BC)\) :
   • Étape 4 : À partir du point \(B\), mesurez \(5\,\text{cm}\) le long de la droite prolongée de \(BC\).
   • Étape 5 : Marquez le point \(D\) à \(5\,\text{cm}\) de \(B\). Comme \(BC = 3\,\text{cm}\), le point \(D\) se trouve au-delà de \(C\) sur la droite \(BC\).

   

3. Tracer la parallèle à \(AC\) passant par \(D\) :
   • Étape 6 : Utilisez une règle et un rapporteur pour tracer une droite parallèle à \(AC\) en partant de \(D\). Cette droite va intersecter le segment \(AB\) en un point que nous nommerons \(E\).

   

4. Identifier le point \(E\) :
   • Étape 7 : Le point d’intersection de la droite parallèle avec \(AB\) est le point \(E\).

   

Ainsi, la figure est complète avec les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), et \(E\) positionnés selon les indications de l’énoncé.

b. Calcul de \(AE\) et \(DE\)

Pour déterminer les longueurs \(AE\) et \(DE\), nous allons utiliser le Théorème de Thalès qui établit une proportion entre les segments interceptés par des droites parallèles.

Étapes de résolution :

1. Identifier les droites parallèles et les segments interceptés :

   • La droite \(DE\) est parallèle à \(AC\).
   • Elles interceptent les côtés \(AB\) et \(BC\).

2. Appliquer le Théorème de Thalès :

   Le Théorème de Thalès stipule que si deux droites sont parallèles, les segments interceptés sur deux droites sécantes sont proportionnels. Dans notre cas :

   \[ \frac{AE}{EB} = \frac{BD}{DC} \]

   Calcul des longueurs connues :

   • \(BD = 5\,\text{cm}\)
   • \(BC = 3\,\text{cm}\) \(\Rightarrow DC = BD - BC = 5\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 2\,\text{cm}\)

   Ainsi, la proportion devient :

   \[ \frac{AE}{EB} = \frac{5}{2} \]

3. Exprimer \(EB\) en fonction de \(AE\) :

   Puisque \(AB = 5\,\text{cm}\), on a :

   \[ AE + EB = AB \Rightarrow EB = AB - AE = 5 - AE \]

4. Mettre la proportion en fonction de \(AE\) :

   \[ \frac{AE}{5 - AE} = \frac{5}{2} \]

5. Résoudre l’équation :

   \[ 2 \cdot AE = 5 \cdot (5 - AE) \] \[ 2AE = 25 - 5AE \] \[ 2AE + 5AE = 25 \] \[ 7AE = 25 \] \[ AE = \frac{25}{7} \approx 3{,}57\,\text{cm} \]

6. Calculer \(EB\) :

   \[ EB = 5 - AE = 5 - \frac{25}{7} = \frac{10}{7} \approx 1{,}43\,\text{cm} \]

7. Calculer \(DE\) :

   Puisque \(DE\) est parallèle à \(AC\), les triangles \(ADE\) et \(ABC\) sont semblables. Ainsi, les rapports de similitude sont les mêmes.

   \[ \frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BC + DC} = \frac{5}{5 + 2} = \frac{5}{7} \] \[ DE = AC \cdot \frac{5}{7} = 4{,}2 \times \frac{5}{7} = 3{\,}cm \]

Résultats :

\[ AE \approx 3{,}57\,\text{cm} \quad \text{et} \quad DE = 3\,\text{cm} \]