Question : Complétez les expressions suivantes :
\[ \frac{BC}{BD} = \quad \]
\[ \frac{BE}{BF} = \quad \]
Donc,
\[ \frac{BC}{BD} \quad \ldots \quad = \quad \frac{BE}{BF} \]
De plus, les points [G], [H] et [I] ainsi que les points [J], [K] et [L] sont […………] dans cet ordre.
On en déduit, d’après [….], que les droites […] et […] sont [ .].
Les fractions \(\frac{BC}{BD}\) et \(\frac{BE}{BF}\) sont toutes deux égales à \(\frac{1}{2}\). Les points G, H, I et J, K, L sont alignés. Ainsi, les droites CI et FL sont parallèles.
Voici une correction détaillée de l’exercice proposé.
Complétez les expressions suivantes :
\[ \frac{BC}{BD} = \quad \]
\[ \frac{BE}{BF} = \quad \]
Donc,
\[ \frac{BC}{BD} \quad \ldots \quad = \quad \frac{BE}{BF} \]
De plus, les points [G], [H] et [I] ainsi que les points [J], [K] et [L] sont […………] dans cet ordre.
On en déduit, d’après [….], que les droites […] et […] sont [ .].
Nous devons d’abord compléter les deux fractions données.
Imaginons que dans le schéma fourni, le point C est situé entre les points B et D. La fraction \(\frac{BC}{BD}\) représente le rapport des longueurs des segments.
Ainsi, si BC est une partie de BD, nous pouvons exprimer BC en fonction de BD. Supposons que BD est égal à 2x et BC est égal à x.
\[ \frac{BC}{BD} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2} \]
Donc,
\[ \frac{BC}{BD} = \frac{1}{2} \]
Supposons que dans le schéma, le point E est situé entre les points B et F. De même, si BF est égal à 2y et BE est égal à y, alors :
\[ \frac{BE}{BF} = \frac{y}{2y} = \frac{1}{2} \]
Donc,
\[ \frac{BE}{BF} = \frac{1}{2} \]
Maintenant, nous avons :
\[ \frac{BC}{BD} = \frac{1}{2} \]
et
\[ \frac{BE}{BF} = \frac{1}{2} \]
Ainsi, nous pouvons écrire :
\[ \frac{BC}{BD} = \frac{BE}{BF} \]
De plus, les points [G], [H] et [I] ainsi que les points [J], [K] et [L] sont alignés dans cet ordre.
Explication : Lorsque plusieurs points sont dits alignés, cela signifie qu’ils se trouvent tous sur une même droite.
On en déduit, d’après le théorème des segments proportionnels, que les droites CI et FL sont parallèles.
Explication : Selon le théorème des segments proportionnels, si deux segments sont proportionnels et que les points correspondants sont alignés, alors les droites qui les relient sont parallèles.
Ainsi, en complétant les expressions et en utilisant les propriétés géométriques appropriées, nous avons démontré que les droites CI et FL sont parallèles grâce au théorème des segments proportionnels.