Exercices corrigés - Théorème de Thalès - 11e

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Exercice 1

Difficulté : 60/100

$AB\parallel DE$

1. Montrer que les triangles $ABC$ et $EDC$ ont leurs angles correspondants égaux.
2. Indiquer les paires de côtés correspondants.

$BE\parallel CD$

3. Montrer que les triangles $ACD$ et $ABE$ ont leurs angles correspondants égaux.
4. Indiquer les paires de côtés correspondants.

Sachant que le triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ est semblable au triangle $ABC$ et que $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=4,5\text{cm}$, calculer le périmètre du triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

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Exercice 2

Difficulté : 40/100

Sachant qu’un triangle semblable au triangle $ABC$ a un périmètre de $16,4\mathrm{cm}$, calculez la longueur de chacun de ses côtés.

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Exercice 3

Difficulté : 40/100

Les segments ${B{B}^{\prime }}^{\prime }$ et $C{C}^{\prime }$ sont parallèles.

La longueur de $\overline{AB}$ est de 25 unités.

La longueur de $\overline{AC}$ est de 35 unités.

La longueur de $\overline{C{C}^{\prime }}$ est de 63 unités.

Calculez la longueur de $\overline{B{B}^{\prime }}$.

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Exercice 4

Difficulté : 40/100

$$B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$$ $$\overline{AB}=64$$ $$\overline{BC}=24$$ $$\overline{B{B}^{\prime }}=42$$

Calculer $\overline{C{C}^{\prime }}$.

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Exercice 5

Difficulté : 40/100

$S{S}^{\prime }\parallel T{T}^{\prime }$.

La longueur de $\overline{RS}$ est de 35.

La longueur de $\overline{ST}$ est de 21.

La longueur de $\overline{R{S}^{\prime }}$ est de 55.

Calculer la longueur de $\overline{S^{\prime }{T}^{\prime }}$.

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Exercice 6

Difficulté : 40/100

On sait que $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$, que $\overline{AB}=4$, $\overline{B{B}^{\prime }}=5$ et $\overline{C{C}^{\prime }}=6$. Calculer $\overline{AC}$.

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Exercice 7

Difficulté : 35/100

$$BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$$

$$\overline{C{C}^{\prime }}=5$$

$$\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}=25$$

$$\overline{AB}=18$$

$$\overline{B{B}^{\prime }}=2$$

Calculer $\overline{AC}$ et $\overline{BC}$.

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Exercice 8

Difficulté : 35/100

Les droites $BE$ et $CD$ sont parallèles, et $AM$ est perpendiculaire à $BE$.

$$\overline{AB}=10$$ $$\overline{BC}=5$$ $$\overline{BH}=6$$

Calculer $\overline{ED}$.

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Exercice 9

Difficulté : 40/100

Les droites $\overline{B{B}^{\prime }}$ et $\overline{C{C}^{\prime }}$ sont parallèles, et $A{B}^{\prime }$ est perpendiculaire à $\overline{B{B}^{\prime }}$.

On sait que : - $\overline{AB}=30$ - $\overline{A{B}^{\prime }}=24$ - $\overline{BC}=20$ - $\overline{A{B}^{″}}=25$

Calculer les longueurs suivantes : $\overline{B{B}^{\prime }}$, $\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, $\overline{C{C}^{\prime }}$, $\overline{B^{\prime }{B}^{″}}$, $\overline{A{C}^{″}}$, $\overline{C^{\prime }{C}^{″}}$.

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Exercice 10

Difficulté : 40/100

Les droites $DE$ et $AB$ sont parallèles, et la droite $CH$ est perpendiculaire à $AB$. Les longueurs sont $\overline{AH}=3$, $\overline{CH}=4$ et $\overline{DC}=2$. Calculer $\overline{FH}$ et $\overline{DF}$.

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Exercice 11

Difficulté : 35/100

Indiquez la proportion permettant de calculer, si possible, la longueur demandée.

$BD\parallel CE$

Données : $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{BD}$.

À déterminer : $\overline{DE}$.

$UY\parallel VZ$

Données : $\overline{XY}$, $\overline{XZ}$, $\overline{VZ}$.

À déterminer : $\overline{UY}$.

$GI\parallel HJ$

Données : $\overline{FG}$, $\overline{FH}$, $\overline{FI}$.

À déterminer : $\overline{IJ}$.

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Exercice 12

Difficulté : 50/100

1. 
   $AD\parallel BE\parallel CF$
   On connaît les longueurs $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ et $\overline{DE}$.
   Calculer $\overline{EF}$ en indiquant la proportion appropriée, si possible.

2. 
   $KN\parallel LO\parallel MP$
   On connaît les longueurs $\overline{KL}$, $\overline{LM}$ et $\overline{NK}$.
   Calculer $\overline{LO}$ en indiquant la proportion appropriée, si possible.

3. 
   $RU\parallel SV\parallel TW$
   On connaît les longueurs $\overline{RS}$, $\overline{RU}$, $\overline{SV}$ et $\overline{TW}$.
   Calculer $\overline{ST}$ en indiquant la proportion appropriée, si possible.

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Exercice 13

Difficulté : 45/100

Les droites $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ et $C{C}^{\prime }$ sont parallèles.

$$\overline{AB}=75$$ $$\overline{BC}=55$$ $$\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=45$$

Calculer $\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}$.

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Exercice 14

Difficulté : 40/100

$A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$

$\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=3$

$\overline{A^{\prime }{C}^{\prime }}=12$

$\overline{AB}=6$

Calculer $\overline{AC}$.

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Exercice 15

Difficulté : 60/100

Les droites $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ et $C{C}^{\prime }$ sont parallèles. De plus, $A^{\prime }{C}^{\prime \prime }$ est parallèle à $AC$.

Les longueurs sont données par : - $\overline{AB}=24$ - $\overline{BC}=32$ - $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=36$ - $\overline{A{A}^{\prime }}=39$ - $\overline{B{B}^{\prime }}=60$

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Exercice 16

Difficulté : 50/100

Unité : cm

• O est le centre du cercle.
• OF est parallèle à AB.

1. Montrer que les triangles $\mathrm{△}ABC$ et $\mathrm{△}DOC$ sont semblables, ainsi que les triangles $\mathrm{△}ABE$ et $\mathrm{△}DFE$.
2. Sachant que $BC=60$ cm et $AC=48$ cm, calculer $AB$, $BE$, $DF$ et $ED$.

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Exercice 17

Difficulté : 60/100

Question : Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=10\text{cm}$, $AC=6\text{cm}$ et $BC=4\text{cm}$. Soit $M$ un point de $[AB]$. On trace, par $M$, la parallèle à $(BC)$ qui coupe $(AC)$ en $N$. On pose $AM=x$ avec $0⩽x⩽10$.

1. Fais un schéma.

2. Exprime les longueurs $AN$ et $MN$ en fonction de $x$.

3. Montre que le périmètre $P_1$ du triangle $AMN$ est égal à $2x$.

4. Montre que le périmètre $P_2$ du trapèze $MBCN$ est égal à $14-\frac{x}{2}$.

5. Détermine $x$ pour que les deux périmètres soient égaux.

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Exercice 18

Difficulté : 45/100

Question : Complétez les expressions suivantes :

$$\frac{BC}{BD}=$$

$$\frac{BE}{BF}=$$

Donc,

$$\frac{BC}{BD}\dots =\frac{BE}{BF}$$

De plus, les points [G], [H] et [I] ainsi que les points [J], [K] et [L] sont […………] dans cet ordre.

On en déduit, d’après [….], que les droites […] et […] sont [ .].

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Exercice 19

Difficulté : 50/100

Question : On considère le triangle $ABC$, rectangle en $A$, tel que $AB=5\text{cm}$ et $BC=10\text{cm}$. Le point $D$ appartient au segment $[AB]$ tel que $BD=2\text{cm}$ et le point $E$ appartient au segment $[AC]$ tel que $AE=3\text{cm}$.

1. Construis la figure.

2. Calcule la longueur $AC$.

3. Démontrer que les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.

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Exercice 20

Difficulté : 50/100

Question : Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=5\text{cm}$, $BC=3\text{cm}$ et $AC=4,2\text{cm}$. Soit $D$ un point de $[BC)$ tel que $BD=5\text{cm}$. Trace une parallèle à $(AC)$ passant par $D$. Cette parallèle coupe $[AB)$ en $E$.

1. Construit la figure.

2. Calcule $AE$ et $DE$.

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Exercice 21

Difficulté : 60/100

Question : Soit $\mathrm{△}ABC$ tel que $AB=3,0\mathrm{cm}$, $AC=4,0\mathrm{cm}$ et $BC=5,0\mathrm{cm}$. Sur [AB), le point $D$ est tel que $AD=1,2\mathrm{cm}$ et sur [CB), le point $F$ est tel que $CF=2,4\mathrm{cm}$.

1. Construis la figure.

2. Montre que les droites $(BC)$ et $(DF)$ sont parallèles.

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Exercice 22

Difficulté : 30/100

Question :

1. Trace un triangle $ABC$ rectangle en $C$ tel que $AC=3,0\text{cm}$ et $BC=4,0\text{cm}$. Place un point $D$ sur le segment $[AC]$ tel que $AD=1,8\text{cm}$ et un point $E$ sur le segment $[AB]$ tel que $AE=2,5\text{cm}$.

2. Démontrer que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

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Exercice 23

Difficulté : 75/100

Question : On considère un triangle $ABC$, rectangle en $A$, ainsi que sa hauteur $AD$.
Le cercle de Thalès du segment $AD$ intersecte $AB$ en $M$ et $AC$ en $N$.
Que peut-on dire du quadrilatère $AMND$ ?

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Exercice 24

Difficulté : 40/100

Question : Les segments $BE$ et $CF$ se rencontrent en $D$.

Le segment $GH$ est parallèle au segment $CF$.

Les segments $BD$ et $BG$ sont-ils isométriques ?

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Exercice 25

Difficulté : 30/100

Question : Deux sœurs ont hérité d’un terrain triangulaire $DEF$ rectangle en $D$. Le côté $DE$ mesure $60\text{m}$. Elles décident de le partager équitablement en érigeant une barrière $PQ$ parallèle au côté $DF$.

À quel emplacement doit-on placer la barrière pour que le partage soit équitable ?

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Exercice 26

Difficulté : 60/100

Question: Claire affirme pouvoir déterminer la hauteur d’un mât. Quelle méthode utilise-t-elle ?

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Exercice 27

Difficulté : 50/100

Question : Sur la demi-droite $OM$, placez un point $P$ tel que $OP=4\text{cm}$ et un point $Q$ tel que $OQ=6\text{cm}$.

Placez un point $R$ sur la demi-droite $On$ tel que $OR=3\text{cm}$.

Tracez la droite $PR$.

Tracez une droite $QS$ parallèle à $PR$ avec $S$ sur la demi-droite $On$.

Calculez $OS$, puis comparez le résultat avec la mesure sur le dessin.

1. Calculez $RN$.

$$PQ\parallel RS$$

2. Calculez $UV$ et $W$.

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Exercice 28

Difficulté : 50/100

Soit $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$, avec $\overline{AC}=7$, $\overline{AB}=5$, $\overline{B{B}^{\prime }}=3$ et $\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}=4$.

1. Calculer les rapports $r_1=\frac{\overline{AB}}{\overline{A{B}^{\prime }}}$ et $r_2=\frac{\overline{AB}}{\overline{B{B}^{\prime }}}$.
2. Le rapport $\frac{\overline{BC}}{\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}}$ est-il égal à $r_1$ ou à $r_2$ ?
3. Calculer $\overline{BC}$.
4. Calculer $\overline{C{C}^{\prime }}$ en utilisant le rapport $r_1$.
5. Calculer $\overline{C{C}^{\prime }}$ en utilisant le rapport $r_2$.

Soit $B{B}^{″}=C{C}^{″}$, avec $\overline{AB}=28$, $\overline{BC}=36$, $\overline{A{B}^{\prime }}=21$, $\overline{B{B}^{\prime }}=14$ et $\overline{C^{\prime }{C}^{″}}=80$.

Calculer $\overline{C{C}^{\prime }}$, $\overline{A{C}^{\prime }}$ et $\overline{B^{\prime }{B}^{″}}$.

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Exercice 29

Difficulté : 60/100

Dans le diagramme ci-dessous, $FC\parallel ED$. On a les longueurs suivantes :

• $\overline{CD}=14$
• $\overline{ED}=54$
• $\overline{GC}=36$
• $\overline{FE}=17$
• $AF=85$

Calculer $\overline{BC}$, $\overline{FG}$ et $\overline{AB}$.

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Exercice 30

Difficulté : 50/100

Les droites $R{R}^{\prime }$, $S{S}^{\prime }$ et $T{T}^{\prime }$ sont parallèles.

$\overline{R^{\prime }{S}^{\prime }}=45$

$\overline{R^{\prime }{T}^{\prime }}=96$

$\overline{RS}=49$

Calculez $\overline{RT}$.

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Exercice 31

Difficulté : 60/100

Dans le schéma ci-dessus, $\frac{ED}{AD}$ est parallèle à $BC$, avec $\overline{AD}=30$, $\overline{AC}=50$ et $\overline{DE}=48$. Calculer la longueur de $\overline{BC}$.

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Exercice 32

Difficulté : 65/100

Dans le graphe ci-contre, les segments $AF$ et $BE$ sont parallèles, de même que $AC$ et $FE$. Les longueurs suivantes sont données :

• $\overline{BC}=54$
• $\overline{CD}=45$
• $\overline{EF}=18$
• $\overline{AF}=100$

Calculer $\overline{FD}$ et $\overline{BD}$.

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Exercice 33

Difficulté : 40/100

Question : Calcule $\frac{M}{N}$.

AB est parallèle à CD.

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Exercice 34

Difficulté : 60/100

Les segments $BC$ et $B^{\prime }{C}^{\prime }$ sont parallèles. On a $\overline{A{C}^{\prime }}=21$, $\overline{A{B}^{\prime }}=17$, $\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}=4$ et $\overline{BC}=2$. Calculez $\overline{AB}$ et $\overline{AC}$.

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Exercice 35

Difficulté : 30/100

Les segments $BC$ et $B^{\prime }{C}^{\prime }$ sont parallèles.

$\overline{AB}=4$

$\overline{A{B}^{\prime }}=9$

$\overline{BC}=2$

Calculez $\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}$.

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Exercice 36

Difficulté : 60/100

Question : On considère le triangle $ABC$ tel que $AB=5\mathrm{cm}$, $BC=7\mathrm{cm}$ et $AC=6\mathrm{cm}$.

Place le point $D$ sur $[AB]$ tel que $BD=2\mathrm{cm}$ et le point $E$ sur $[BC]$ tel que $CE=2,5\mathrm{cm}$.

1. Réalise une figure à main levée.

2. Montre que les droites $(DE)$ et $(AC)$ sont parallèles.

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Exercice 37

Difficulté : 50/100

$AB\Vert A^{\prime }{B}^{\prime }$
$\overline{SA}=40$
$\overline{S{A}^{\prime }}=70$
$\overline{SB}=32$
Calculer $\overline{S{B}^{\prime }}$.

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Exercice 38

Difficulté : 50/100

Soient les segments $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }\parallel E{E}^{\prime }$, avec $\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=2$ et $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=3,2$.

Calculer $\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }},\overline{C^{\prime }{D}^{\prime }},\overline{D^{\prime }{E}^{\prime }}$.

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Exercice 39

Difficulté : 40/100

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6\text{cm}$, $AC=5\text{cm}$ et $BC=4,5\text{cm}$. On appelle $N$ le point de la demi-droite $(AC)$ tel que $AN=7\text{cm}$. La parallèle à $(BC)$ passant par $N$ intersecte $(AB)$ en $P$. Détermine la longueur de $AP$.

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Exercice 40

Difficulté : 50/100

Les droites $UT$ et $U^{\prime }{T}^{\prime }$ sont parallèles.

$\overline{ST}=56$

$\overline{S{T}^{\prime }}=28$

$\overline{S{U}^{\prime }}=27$

Calculez $\overline{SU}$.

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Exercice 41

Difficulté : 40/100

$AB\parallel DE$

$\overline{CB}=56$

$\overline{CD}=32$

$\overline{CE}=24$

$\overline{AB}=63$

Calculer $\overline{AC}$ et $\overline{DE}$.

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Exercice 42

Difficulté : 50/100

Dans le diagramme ci-dessus, on a les données suivantes :

• $S{S}^{\prime }\parallel T{T}^{\prime }$
• $RS=30$
• $ST=20$
• $R{T}^{\prime }=80$
• $T{T}^{\prime }=56$

Calculer $R{S}^{\prime }$ et $S{S}^{\prime }$.

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Exercice 43

Difficulté : 40/100

Les segments $BC$ et $B^{\prime }{C}^{\prime }$ sont parallèles.

$\overline{BC}=4$

$\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}=6$

$\overline{AC}=5$

Calculez $\overline{C{C}^{\prime }}$.

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Exercice 44

Difficulté : 40/100

Calculer $\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ et $\overline{C{C}^{\prime }}$.

Les segments $\overline{A{A}^{\prime }}$, $\overline{B{B}^{\prime }}$ et $\overline{C{C}^{\prime }}$ sont parallèles.

Données : - $\overline{AB}=4$ - $\overline{BC}=5$ - $\overline{A{A}^{\prime }}=12$ - $\overline{B{B}^{\prime }}=16$ - $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=5$

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Exercice 45

Difficulté : 40/100

Question : Deux bâtiments sont alignés, séparés par une distance de $15\mathrm{m}$. Le premier bâtiment a une hauteur de $10\mathrm{m}$, tandis que le deuxième mesure $20\mathrm{m}$. Léa se trouve à $18\mathrm{m}$ du premier bâtiment, avec ses yeux situés à $1,60\mathrm{m}$ du sol. Peut-elle voir le deuxième bâtiment ?

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Exercice 46

Difficulté : 50/100

Question : Comment déterminer la hauteur d’un arbre sans y grimper, en utilisant un bâton d’un mètre de long et une ficelle ?

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Exercice 47

Difficulté : 50/100

• $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$
• $\overline{AC}=12$
• $\overline{B{B}^{\prime }}=2$
• $\overline{BC}=10$
• $\overline{B^{\prime }{C}^{\prime }}=14$

Calculer $\overline{C{C}^{\prime }}$ et $\overline{AB}$.

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Exercice 48

Difficulté : 35/100

Les droites $B{B}^{\prime }$ et $C{C}^{\prime }$ sont parallèles. On connaît les longueurs suivantes :

• $\overline{A{B}^{\prime }}=20$
• $\overline{A{C}^{\prime }}=44$
• $\overline{AB}=40$
• $\overline{B{B}^{\prime }}=30$

Calculez $\overline{AC}$ et $\overline{C{C}^{\prime }}$.

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