Exercices corrigés - Théorème de Thalès - 11e
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Exercice 1
Difficulté : 60/100
\(AB \parallel DE\)
- Montrer que les triangles \(ABC\) et \(EDC\) ont leurs angles correspondants égaux.
- Indiquer les paires de côtés correspondants.
\(BE \parallel CD\)
- Montrer que les triangles \(ACD\) et \(ABE\) ont leurs angles correspondants égaux.
- Indiquer les paires de côtés correspondants.
Sachant que le triangle \(A'B'C'\) est semblable au triangle \(ABC\) et que \(\overline{A'B'} = 4{,}5 \,\text{cm}\), calculer le périmètre du triangle \(A'B'C'\).
Exercice 2
Difficulté : 40/100
Sachant qu’un triangle semblable au triangle \(ABC\) a un périmètre de \(16{,}4\ \mathrm{cm}\), calculez la longueur de chacun de ses côtés.
Exercice 3
Difficulté : 40/100
Les segments \({BB^{\prime}}^{\prime}\) et \(CC^{\prime}\) sont parallèles.
La longueur de \(\overline{AB}\) est de 25 unités.
La longueur de \(\overline{AC}\) est de 35 unités.
La longueur de \(\overline{CC^{\prime}}\) est de 63 unités.
Calculez la longueur de \(\overline{BB^{\prime}}\).
Exercice 4
Difficulté : 40/100
\[ BB' \parallel CC' \] \[ \overline{AB} = 64 \] \[ \overline{BC} = 24 \] \[ \overline{BB'} = 42 \]
Calculer \(\overline{CC'}\).
Exercice 5
Difficulté : 40/100
\(SS^{\prime} \parallel TT^{\prime}\).
La longueur de \(\overline{RS}\) est de 35.
La longueur de \(\overline{ST}\) est de 21.
La longueur de \(\overline{RS^{\prime}}\) est de 55.
Calculer la longueur de \(\overline{S^{\prime}T^{\prime}}\).
Exercice 6
Difficulté : 40/100
On sait que \(BC \parallel B'C'\), que \(\overline{AB} = 4\), \(\overline{BB'} = 5\) et \(\overline{CC'} = 6\). Calculer \(\overline{AC}\).
Exercice 7
Difficulté : 35/100
\[ BC \parallel B' C' \]
\[ \overline{CC'} = 5 \]
\[ \overline{B'C'} = 25 \]
\[ \overline{AB} = 18 \]
\[ \overline{BB'} = 2 \]
Calculer \(\overline{AC}\) et \(\overline{BC}\).
Exercice 8
Difficulté : 35/100
Les droites \(BE\) et \(CD\) sont parallèles, et \(AM\) est perpendiculaire à \(BE\).
\[ \overline{AB} = 10 \] \[ \overline{BC} = 5 \] \[ \overline{BH} = 6 \]
Calculer \(\overline{ED}\).
Exercice 9
Difficulté : 40/100
Les droites \(\overline{BB^{\prime}}\) et \(\overline{CC^{\prime}}\) sont parallèles, et \(AB^{\prime}\) est perpendiculaire à \(\overline{BB^{\prime}}\).
On sait que : - \(\overline{AB} = 30\) - \(\overline{AB^{\prime}} = 24\) - \(\overline{BC} = 20\) - \(\overline{AB''} = 25\)
Calculer les longueurs suivantes : \(\overline{BB^{\prime}}\), \(\overline{B^{\prime}C^{\prime}}\), \(\overline{CC^{\prime}}\), \(\overline{B^{\prime}B''}\), \(\overline{AC''}\), \(\overline{C^{\prime}C''}\).
Exercice 10
Difficulté : 40/100
Les droites \(DE\) et \(AB\) sont parallèles, et la droite \(CH\) est perpendiculaire à \(AB\). Les longueurs sont \(\overline{AH} = 3\), \(\overline{CH} = 4\) et \(\overline{DC} = 2\). Calculer \(\overline{FH}\) et \(\overline{DF}\).
Exercice 11
Difficulté : 35/100
Indiquez la proportion permettant de calculer, si possible, la longueur demandée.
\(BD \parallel CE\)
Données : \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\), \(\overline{BD}\).
À déterminer : \(\overline{DE}\).
\(UY \parallel VZ\)
Données : \(\overline{XY}\), \(\overline{XZ}\), \(\overline{VZ}\).
À déterminer : \(\overline{UY}\).
\(GI \parallel HJ\)
Données : \(\overline{FG}\), \(\overline{FH}\), \(\overline{FI}\).
À déterminer : \(\overline{IJ}\).
Exercice 12
Difficulté : 50/100
\(AD \parallel BE \parallel CF\)
On connaît les longueurs \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\) et \(\overline{DE}\).
Calculer \(\overline{EF}\) en indiquant la proportion appropriée, si possible.
\(KN \parallel LO \parallel MP\)
On connaît les longueurs \(\overline{KL}\), \(\overline{LM}\) et \(\overline{NK}\).
Calculer \(\overline{LO}\) en indiquant la proportion appropriée, si possible.
\(RU \parallel SV \parallel TW\)
On connaît les longueurs \(\overline{RS}\), \(\overline{RU}\), \(\overline{SV}\) et \(\overline{TW}\).
Calculer \(\overline{ST}\) en indiquant la proportion appropriée, si possible.
Exercice 13
Difficulté : 45/100
Les droites \(AA'\), \(BB'\) et \(CC'\) sont parallèles.
\[ \overline{AB} = 75 \] \[ \overline{BC} = 55 \] \[ \overline{A'B'} = 45 \]
Calculer \(\overline{B'C'}\).
Exercice 14
Difficulté : 40/100
\(AA^{\prime} \parallel BB^{\prime} \parallel CC^{\prime}\)
\(\overline{A^{\prime}B^{\prime}} = 3\)
\(\overline{A^{\prime}C^{\prime}} = 12\)
\(\overline{AB} = 6\)
Calculer \(\overline{AC}\).
Exercice 15
Difficulté : 60/100
Les droites \(A A^{\prime}\), \(B B^{\prime}\) et \(C C^{\prime}\) sont parallèles. De plus, \(A^{\prime} C^{\prime \prime}\) est parallèle à \(A C\).
Les longueurs sont données par : - \(\overline{A B} = 24\) - \(\overline{B C} = 32\) - \(\overline{A^{\prime} B^{\prime}} = 36\) - \(\overline{A A^{\prime}} = 39\) - \(\overline{B B^{\prime}} = 60\)
Exercice 16
Difficulté : 50/100
Unité : cm
- O est le centre du cercle.
- OF est parallèle à AB.
- Montrer que les triangles \(\triangle ABC\) et \(\triangle DOC\) sont semblables, ainsi que les triangles \(\triangle ABE\) et \(\triangle DFE\).
- Sachant que \(BC = 60\) cm et \(AC = 48\) cm, calculer \(AB\), \(BE\), \(DF\) et \(ED\).
Exercice 17
Difficulté : 60/100
Question : Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 10\,\text{cm}\), \(AC = 6\,\text{cm}\) et \(BC = 4\,\text{cm}\). Soit \(M\) un point de \([AB]\). On trace, par \(M\), la parallèle à \((BC)\) qui coupe \((AC)\) en \(N\). On pose \(AM = x\) avec \(0 \leqslant x \leqslant 10\).
Fais un schéma.
Exprime les longueurs \(AN\) et \(MN\) en fonction de \(x\).
Montre que le périmètre \(P_1\) du triangle \(AMN\) est égal à \(2x\).
Montre que le périmètre \(P_2\) du trapèze \(MBCN\) est égal à \(14 - \frac{x}{2}\).
Détermine \(x\) pour que les deux périmètres soient égaux.
Exercice 18
Difficulté : 45/100
Question : Complétez les expressions suivantes :
\[ \frac{BC}{BD} = \quad \]
\[ \frac{BE}{BF} = \quad \]
Donc,
\[ \frac{BC}{BD} \quad \ldots \quad = \quad \frac{BE}{BF} \]
De plus, les points [G], [H] et [I] ainsi que les points [J], [K] et [L] sont […………] dans cet ordre.
On en déduit, d’après [….], que les droites […] et […] sont [ .].
Exercice 19
Difficulté : 50/100
Question : On considère le triangle \(ABC\), rectangle en \(A\), tel que \(AB = 5\,\text{cm}\) et \(BC = 10\,\text{cm}\). Le point \(D\) appartient au segment \([AB]\) tel que \(BD = 2\,\text{cm}\) et le point \(E\) appartient au segment \([AC]\) tel que \(AE = 3\,\text{cm}\).
Construis la figure.
Calcule la longueur \(AC\).
Démontrer que les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont parallèles.
Exercice 20
Difficulté : 50/100
Question : Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 5\,\text{cm}\), \(BC = 3\,\text{cm}\) et \(AC = 4{,}2\,\text{cm}\). Soit \(D\) un point de \([BC)\) tel que \(BD = 5\,\text{cm}\). Trace une parallèle à \((AC)\) passant par \(D\). Cette parallèle coupe \([AB)\) en \(E\).
Construit la figure.
Calcule \(AE\) et \(DE\).
Exercice 21
Difficulté : 60/100
Question : Soit \(\triangle ABC\) tel que \(AB = 3{,}0\ \mathrm{cm}\), \(AC = 4{,}0\ \mathrm{cm}\) et \(BC = 5{,}0\ \mathrm{cm}\). Sur [AB), le point \(D\) est tel que \(AD = 1{,}2\ \mathrm{cm}\) et sur [CB), le point \(F\) est tel que \(CF = 2{,}4\ \mathrm{cm}\).
Construis la figure.
Montre que les droites \((BC)\) et \((DF)\) sont parallèles.
Exercice 22
Difficulté : 30/100
Question :
Trace un triangle \(ABC\) rectangle en \(C\) tel que \(AC = 3{,}0 \, \text{cm}\) et \(BC = 4{,}0 \, \text{cm}\). Place un point \(D\) sur le segment \([AC]\) tel que \(AD = 1{,}8 \, \text{cm}\) et un point \(E\) sur le segment \([AB]\) tel que \(AE = 2{,}5 \, \text{cm}\).
Démontrer que les droites \((BC)\) et \((DE)\) sont parallèles.
Exercice 23
Difficulté : 75/100
Question : On considère un triangle \(ABC\), rectangle en \(A\), ainsi que sa hauteur \(AD\).
Le cercle de Thalès du segment \(AD\) intersecte \(AB\) en \(M\) et \(AC\) en \(N\).
Que peut-on dire du quadrilatère \(AMND\) ?
Exercice 24
Difficulté : 40/100
Question : Les segments \(BE\) et \(CF\) se rencontrent en \(D\).
Le segment \(GH\) est parallèle au segment \(CF\).
Les segments \(BD\) et \(BG\) sont-ils isométriques ?
Exercice 25
Difficulté : 30/100
Question : Deux sœurs ont hérité d’un terrain triangulaire \(DEF\) rectangle en \(D\). Le côté \(DE\) mesure \(60\,\text{m}\). Elles décident de le partager équitablement en érigeant une barrière \(PQ\) parallèle au côté \(DF\).
À quel emplacement doit-on placer la barrière pour que le partage soit équitable ?
Exercice 26
Difficulté : 60/100
Question: Claire affirme pouvoir déterminer la hauteur d’un mât. Quelle méthode utilise-t-elle ?
Exercice 27
Difficulté : 50/100
Question : Sur la demi-droite \(OM\), placez un point \(P\) tel que \(OP = 4\,\text{cm}\) et un point \(Q\) tel que \(OQ = 6\,\text{cm}\).
Placez un point \(R\) sur la demi-droite \(On\) tel que \(OR = 3\,\text{cm}\).
Tracez la droite \(PR\).
Tracez une droite \(QS\) parallèle à \(PR\) avec \(S\) sur la demi-droite \(On\).
Calculez \(OS\), puis comparez le résultat avec la mesure sur le dessin.
- Calculez \(RN\).
\[ PQ \parallel RS \]
- Calculez \(UV\) et \(W\).
Exercice 28
Difficulté : 50/100
Soit \(BC \parallel B'C'\), avec \(\overline{AC} = 7\), \(\overline{AB} = 5\), \(\overline{BB'} = 3\) et \(\overline{B'C'} = 4\).
- Calculer les rapports \(r_{1} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AB'}}\) et \(r_{2} = \frac{\overline{AB}}{\overline{BB'}}\).
- Le rapport \(\frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}}\) est-il égal à \(r_{1}\) ou à \(r_{2}\) ?
- Calculer \(\overline{BC}\).
- Calculer \(\overline{CC'}\) en utilisant le rapport \(r_{1}\).
- Calculer \(\overline{CC'}\) en utilisant le rapport \(r_{2}\).
Soit \(BB'' = CC''\), avec \(\overline{AB} = 28\), \(\overline{BC} = 36\), \(\overline{AB'} = 21\), \(\overline{BB'} = 14\) et \(\overline{C'C''} = 80\).
Calculer \(\overline{CC'}\), \(\overline{AC'}\) et \(\overline{B'B''}\).
Exercice 29
Difficulté : 60/100
Dans le diagramme ci-dessous, \(FC \parallel ED\). On a les longueurs suivantes :
- \(\overline{CD} = 14\)
- \(\overline{ED} = 54\)
- \(\overline{GC} = 36\)
- \(\overline{FE} = 17\)
- \(AF = 85\)
Calculer \(\overline{BC}\), \(\overline{FG}\) et \(\overline{AB}\).
Exercice 30
Difficulté : 50/100
Les droites \(RR'\), \(SS'\) et \(TT'\) sont parallèles.
\(\overline{R'S'} = 45\)
\(\overline{R'T'} = 96\)
\(\overline{RS} = 49\)
Calculez \(\overline{RT}\).
Exercice 31
Difficulté : 60/100
Dans le schéma ci-dessus, \(\frac{ED}{AD}\) est parallèle à \(BC\), avec \(\overline{AD} = 30\), \(\overline{AC} = 50\) et \(\overline{DE} = 48\). Calculer la longueur de \(\overline{BC}\).
Exercice 32
Difficulté : 65/100
Dans le graphe ci-contre, les segments \(AF\) et \(BE\) sont parallèles, de même que \(AC\) et \(FE\). Les longueurs suivantes sont données :
- \(\overline{BC} = 54\)
- \(\overline{CD} = 45\)
- \(\overline{EF} = 18\)
- \(\overline{AF} = 100\)
Calculer \(\overline{FD}\) et \(\overline{BD}\).
Exercice 33
Difficulté : 40/100
Question : Calcule \(\frac{M}{N}\).
AB est parallèle à CD.
Exercice 34
Difficulté : 60/100
Les segments \(BC\) et \(B'C'\) sont parallèles. On a \(\overline{AC'} = 21\), \(\overline{AB'} = 17\), \(\overline{B'C'} = 4\) et \(\overline{BC} = 2\). Calculez \(\overline{AB}\) et \(\overline{AC}\).
Exercice 35
Difficulté : 30/100
Les segments \(BC\) et \(B'C'\) sont parallèles.
\(\overline{AB} = 4\)
\(\overline{AB'} = 9\)
\(\overline{BC} = 2\)
Calculez \(\overline{B'C'}\).
Exercice 36
Difficulté : 60/100
Question : On considère le triangle \(ABC\) tel que \(AB = 5\,\mathrm{cm}\), \(BC = 7\,\mathrm{cm}\) et \(AC = 6\,\mathrm{cm}\).
Place le point \(D\) sur \([AB]\) tel que \(BD = 2\,\mathrm{cm}\) et le point \(E\) sur \([BC]\) tel que \(CE = 2{,}5\,\mathrm{cm}\).
Réalise une figure à main levée.
Montre que les droites \((DE)\) et \((AC)\) sont parallèles.
Exercice 37
Difficulté : 50/100
\(A B \| A^{\prime} B^{\prime}\)
\(\overline{S A}=40\)
\(\overline{S A^{\prime}}=70\)
\(\overline{S B}=32\)
Calculer \(\overline{S B^{\prime}}\).
Exercice 38
Difficulté : 50/100
Soient les segments \(AA' \parallel BB' \parallel CC' \parallel DD' \parallel EE'\), avec \(\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CD} = \overline{DE} = 2\) et \(\overline{A'B'} = 3,2\).
Calculer \(\overline{B'C'}, \overline{C'D'}, \overline{D'E'}\).
Exercice 39
Difficulté : 40/100
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 6\,\text{cm}\), \(AC = 5\,\text{cm}\) et \(BC = 4{,}5\,\text{cm}\). On appelle \(N\) le point de la demi-droite \((AC)\) tel que \(AN = 7\,\text{cm}\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(N\) intersecte \((AB)\) en \(P\). Détermine la longueur de \(AP\).
Exercice 40
Difficulté : 50/100
Les droites \(UT\) et \(U'T'\) sont parallèles.
\(\overline{ST} = 56\)
\(\overline{ST'} = 28\)
\(\overline{SU'} = 27\)
Calculez \(\overline{SU}\).
Exercice 41
Difficulté : 40/100
\(AB \parallel DE\)
\(\overline{CB} = 56\)
\(\overline{CD} = 32\)
\(\overline{CE} = 24\)
\(\overline{AB} = 63\)
Calculer \(\overline{AC}\) et \(\overline{DE}\).
Exercice 42
Difficulté : 50/100
Dans le diagramme ci-dessus, on a les données suivantes :
- \(SS' \parallel TT'\)
- \(RS = 30\)
- \(ST = 20\)
- \(RT' = 80\)
- \(TT' = 56\)
Calculer \(RS'\) et \(SS'\).
Exercice 43
Difficulté : 40/100
Les segments \(BC\) et \(B^{\prime}C^{\prime}\) sont parallèles.
\(\overline{BC} = 4\)
\(\overline{B^{\prime}C^{\prime}} = 6\)
\(\overline{AC} = 5\)
Calculez \(\overline{CC^{\prime}}\).
Exercice 44
Difficulté : 40/100
Calculer \(\overline{B'C'}\) et \(\overline{CC'}\).
Les segments \(\overline{AA'}\), \(\overline{BB'}\) et \(\overline{CC'}\) sont parallèles.
Données : - \(\overline{AB} = 4\) - \(\overline{BC} = 5\) - \(\overline{AA'} = 12\) - \(\overline{BB'} = 16\) - \(\overline{A'B'} = 5\)
Exercice 45
Difficulté : 40/100
Question : Deux bâtiments sont alignés, séparés par une distance de \(15\,\mathrm{m}\). Le premier bâtiment a une hauteur de \(10\,\mathrm{m}\), tandis que le deuxième mesure \(20\,\mathrm{m}\). Léa se trouve à \(18\,\mathrm{m}\) du premier bâtiment, avec ses yeux situés à \(1,60\,\mathrm{m}\) du sol. Peut-elle voir le deuxième bâtiment ?
Exercice 46
Difficulté : 50/100
Question : Comment déterminer la hauteur d’un arbre sans y grimper, en utilisant un bâton d’un mètre de long et une ficelle ?
Exercice 47
Difficulté : 50/100
- \(BC \parallel B'C'\)
- \(\overline{AC} = 12\)
- \(\overline{BB'} = 2\)
- \(\overline{BC} = 10\)
- \(\overline{B'C'} = 14\)
Calculer \(\overline{CC'}\) et \(\overline{AB}\).
Exercice 48
Difficulté : 35/100
Les droites \(B B^{\prime}\) et \(C C^{\prime}\) sont parallèles. On connaît les longueurs suivantes :
- \(\overline{A B^{\prime}} = 20\)
- \(\overline{A C^{\prime}} = 44\)
- \(\overline{A B} = 40\)
- \(\overline{B B^{\prime}} = 30\)
Calculez \(\overline{A C}\) et \(\overline{C C^{\prime}}\).