Question : Claire se tient au sommet d’un immeuble à une altitude de \(h = 200\) mètres au-dessus du niveau de la mer. Quelle est la distance maximale \(d\) à laquelle elle peut voir l’horizon ?
Depuis une altitude de 200 mètres, Claire peut voir l’horizon à environ 50,5 kilomètres.
Correction détaillée : Distance maximale à l’horizon
Pour déterminer la distance maximale \(d\) à laquelle Claire peut voir l’horizon depuis le sommet de son immeuble, nous allons utiliser des notions de géométrie simples et des approximations adaptées.
Imaginons la Terre comme une sphère parfaite de rayon \(R\). Lorsqu’une personne se tient à une hauteur \(h\), la ligne de vision jusqu’à l’horizon forme un triangle rectangle avec les deux rayons de la Terre.
Le triangle formé est rectangle, où : - Un côté est le rayon de la Terre (\(R\)), - L’autre côté est le rayon de la Terre plus l’altitude (\(R + h\)), - L’hypoténuse est la distance à l’horizon (\(d\)).
Selon le théorème de Pythagore : \[ (R + h)^2 = R^2 + d^2 \]
Développons l’équation : \[ (R + h)^2 = R^2 + d^2 \\ R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + d^2 \\ 2Rh + h^2 = d^2 \\ \]
Comme \(h\) est beaucoup plus petit que \(R\) (\(h \ll R\)), le terme \(h^2\) devient négligeable. Ainsi, l’équation simplifiée est : \[ d^2 \approx 2Rh \\ \]
En prenant la racine carrée des deux côtés : \[ d \approx \sqrt{2Rh} \]
Connaissant le rayon moyen de la Terre : \[ R = 6\,371\,000 \ \text{mètres} \] et \[ h = 200 \ \text{mètres} \]
Substituons ces valeurs dans l’équation : \[ d \approx \sqrt{2 \times 6\,371\,000 \times 200} \] \[ d \approx \sqrt{2\,548\,400\,000} \] \[ d \approx 50\,483 \ \text{mètres} \]
Pour une meilleure compréhension, convertissons la distance en kilomètres : \[ d \approx \frac{50\,483}{1\,000} = 50,483 \ \text{kilomètres} \]
Claire peut donc voir l’horizon à une distance maximale d’environ 50,5 kilomètres depuis une altitude de 200 mètres.
Formule utilisée : \[ d \approx \sqrt{2Rh} \]
Où : - \(d\) = distance à l’horizon (en mètres), - \(R\) = rayon de la Terre (\(6\,371\,000\) mètres), - \(h\) = altitude de l’observateur (en mètres).
Cette formule permet d’estimer rapidement la distance visible jusqu’à l’horizon en fonction de l’altitude de l’observateur.