Exercice 30

Question : Les trois arcs de cercle \(\overparen{AB}\), \(\widehat{AC}\) et \(\overparen{BC}\) sont des demi-cercles.

1. Calcule la somme des aires des deux lunules et compare-la à l’aire du triangle \(ABC\).

2. Le résultat obtenu en a) est-il valable pour tout triangle rectangle de départ ?

Réponse

En résumé, la somme des aires des deux lunules est égale à \(\frac{\pi c²}{8}\) et proportionnelle à l’aire du triangle rectangle \(ABC\). De plus, ce résultat est valable pour tout triangle rectangle.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous allons résoudre les parties a) et b) de l’exercice en suivant une démarche étape par étape.

Partie a) Calcul de la somme des aires des deux lunules et comparaison avec l’aire du triangle \(ABC\)

1. Compréhension du problème

• Nous avons un triangle \(ABC\) rectangle en \(C\) (supposition courante dans ce type de problèmes).
• Sur chacun des côtés \(AB\), \(AC\) et \(BC\), nous construisons des demi-cercles.
• Les “lunules” sont les régions en forme de croissant résultant de la superposition de deux demi-cercles.

2. Identification des lunules

• Première lunule : Formée par les demi-cercles sur \(AB\) et \(AC\).
• Deuxième lunule : Formée par les demi-cercles sur \(AB\) et \(BC\).

3. Calcul des aires des demi-cercles

Supposons que \(AB = c\), \(AC = b\) et \(BC = a\). Puisque \(ABC\) est un triangle rectangle en \(C\), on a selon le théorème de Pythagore : \[ a^2 + b^2 = c^2 \]

L’aire d’un demi-cercle de rayon \(r\) est donnée par : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \pi r^2 \]

Ainsi, les aires des demi-cercles sont : - Sur \(AB\) (\(c\)) : \(A_1 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{\pi c^2}{8}\) - Sur \(AC\) (\(b\)) : \(A_2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{8}\) - Sur \(BC\) (\(a\)) : \(A_3 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8}\)

4. Calcul des aires des lunules

Les lunules sont les différences entre les aires des demi-cercles. Ainsi :

• Première lunule (entre \(AB\) et \(AC\)) : \[ L_1 = A_1 - A_2 = \frac{\pi c^2}{8} - \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi (c^2 - b^2)}{8} \]

• Deuxième lunule (entre \(AB\) et \(BC\)) : \[ L_2 = A_1 - A_3 = \frac{\pi c^2}{8} - \frac{\pi a^2}{8} = \frac{\pi (c^2 - a^2)}{8} \]

5. Somme des aires des deux lunules

Additionnons \(L_1\) et \(L_2\) : \[ L_{\text{total}} = L_1 + L_2 = \frac{\pi (c^2 - b^2)}{8} + \frac{\pi (c^2 - a^2)}{8} = \frac{\pi (2c^2 - a^2 - b^2)}{8} \]

Or, d’après le théorème de Pythagore, \(c^2 = a^2 + b^2\). Remplaçons : \[ L_{\text{total}} = \frac{\pi (2(a^2 + b^2) - a^2 - b^2)}{8} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8} \]

6. Calcul de l’aire du triangle \(ABC\)

Pour un triangle rectangle : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} a b \]

7. Comparaison des deux aires

Nous comparons \(L_{\text{total}}\) et l’aire du triangle : \[ L_{\text{total}} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8} = \frac{\pi c^2}{8} \quad (\text{car } c^2 = a^2 + b^2) \] \[ \text{Aire du triangle} = \frac{1}{2} a b \]

8. Conclusion de la partie a)

La somme des aires des deux lunules est donnée par \(\frac{\pi c^2}{8}\), tandis que l’aire du triangle est \(\frac{1}{2} a b\). Il s’ensuit que : \[ \text{Somme des aires des lunules} = \frac{\pi c^2}{8} \quad \text{et} \quad \text{Aire du triangle} = \frac{1}{2} a b \] Donc, la somme des aires des lunules est proportionnelle à l’aire du triangle, avec un facteur dépendant de \(\pi\) et des longueurs des côtés.

Partie b) Validité du résultat pour tout triangle rectangle de départ

1. Analyse de la généralité du résultat

Le résultat obtenu en a) repose sur le théorème de Pythagore, qui est spécifique aux triangles rectangles. Puisque l’aire des lunules dépend directement de \(c^2 = a^2 + b^2\), ce résultat est intrinsèquement lié à la nature rectangle du triangle.

2. Conclusion de la partie b)

Oui, le résultat obtenu en a) est valable pour tout triangle rectangle de départ, car il s’appuie sur le théorème de Pythagore, qui est valable pour tous les triangles rectangles.