Exercice 29

Dans un triangle rectangle en \(A\), la hauteur issue du sommet \(A\) coupe le côté \([BC]\) en \(H\). Sachant que \(\overline{AB} = 65 \, \text{cm}\) et \(\overline{AH} = 60 \, \text{cm}\), calculez le périmètre du triangle \(ABC\).

Réponse

Le périmètre du triangle \(ABC\) est de 390 cm. Pour ce faire, nous avons utilisé le théorème de Pythagore et les relations géométriques du triangle rectangle pour déterminer les longueurs des côtés \(AC\) et \(BC\), puis les avons additionnées avec \(AB\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous devons calculer le périmètre du triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) en utilisant les informations suivantes : - \(\overline{AB} = 65 \, \text{cm}\) - \(\overline{AH} = 60 \, \text{cm}\)

Étape 1 : Comprendre le triangle

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), ce qui signifie que : - \(\angle A = 90^\circ\) - Les côtés \(AB\) et \(AC\) sont les côtés adjacents au droit. - Le côté \(BC\) est l’hypoténuse du triangle.

La hauteur \(AH\) issue de \(A\) vers \(BC\) découpe l’hypoténuse en deux segments, \(BH\) et \(CH\).

Étape 2 : Utiliser la relation entre la hauteur et les côtés du triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, la hauteur \(AH\) relative à l’hypoténuse \(BC\) satisfait la relation suivante : \[ AH = \frac{AB \times AC}{BC} \] Nous pouvons réarranger cette équation pour exprimer \(BC\) en fonction de \(AB\), \(AC\) et \(AH\) : \[ BC = \frac{AB \times AC}{AH} \] Étape 3 : Appliquer le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore pour le triangle \(ABC\) nous donne : \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] En remplaçant \(BC\) par son expression de l’étape précédente : \[ AB^2 + AC^2 = \left( \frac{AB \times AC}{AH} \right)^2 \] Étape 4 : Substituer les valeurs connues et résoudre pour \(AC\)

Nous connaissons : \[ AB = 65 \, \text{cm}, \quad AH = 60 \, \text{cm} \] Substituons ces valeurs dans l’équation : \[ 65^2 + AC^2 = \left( \frac{65 \times AC}{60} \right)^2 \] Calculons \(65^2\) : \[ 65^2 = 4225 \] L’équation devient : \[ 4225 + AC^2 = \left( \frac{65 \times AC}{60} \right)^2 \] Développons le côté droit de l’équation : \[ 4225 + AC^2 = \frac{(65)^2 \times AC^2}{60^2} = \frac{4225 \times AC^2}{3600} \] Étape 5 : Éliminer le dénominateur et simplifier l’équation

Multipliant les deux côtés par \(3600\) pour éliminer le dénominateur : \[ 3600 \times 4225 + 3600 \times AC^2 = 4225 \times AC^2 \] Calculons \(3600 \times 4225\) : \[ 3600 \times 4225 = 15\,210\,000 \] L’équation devient : \[ 15\,210\,000 + 3600 \times AC^2 = 4225 \times AC^2 \] Isolons les termes en \(AC^2\) : \[ 15\,210\,000 = 4225 \times AC^2 - 3600 \times AC^2 \] \[ 15\,210\,000 = 625 \times AC^2 \] Étape 6 : Calculer la valeur de \(AC\)

Divisons les deux côtés par \(625\) : \[ AC^2 = \frac{15\,210\,000}{625} = 24\,336 \] Prenons la racine carrée des deux côtés : \[ AC = \sqrt{24\,336} = 156 \, \text{cm} \] Étape 7 : Déterminer la longueur de \(BC\)

Utilisons la relation de l’étape 2 : \[ BC = \frac{AB \times AC}{AH} = \frac{65 \times 156}{60} \] Calculons : \[ 65 \times 156 = 10\,140 \] \[ BC = \frac{10\,140}{60} = 169 \, \text{cm} \] Étape 8 : Calculer le périmètre du triangle \(ABC\)

Le périmètre \(P\) est la somme des longueurs des trois côtés : \[ P = AB + BC + AC = 65 \, \text{cm} + 169 \, \text{cm} + 156 \, \text{cm} = 390 \, \text{cm} \]

Réponse : Le périmètre du triangle \(ABC\) est de \(390 \, \text{cm}\).