Calculer les dimensions d’un rectangle, sachant que sa diagonale mesure 30 dm et que sa largeur est égale aux \(\frac{3}{4}\) de sa longueur.
La longueur est de 24 dm et la largeur de 18 dm.
On vous indique que la diagonale d’un rectangle mesure 30 dm et que la largeur (notée ℓ) est égale aux ¾ de la longueur (notée L). Nous devons donc déterminer les valeurs de L et ℓ.
Étape 1 : Exprimer la relation entre largeur et longueur
On a :
ℓ = (3/4) × L
Étape 2 : Appliquer le théorème de Pythagore
Dans un rectangle, la diagonale, la longueur et la largeur forment un
triangle rectangle. Le théorème de Pythagore nous donne donc :
L² + ℓ² = (diagonale)²
Ici, la diagonale est de 30 dm, donc :
L² + ℓ² = 30²
L² + ℓ² = 900
Étape 3 : Remplacer ℓ par son expression en fonction de L
En remplaçant ℓ par (3/4)L, on obtient :
L² + [(3/4)L]² = 900
Calculons [(3/4)L]² :
[(3/4)L]² = (9/16)L²
Dès lors,
L² + (9/16)L² = 900
Étape 4 : Additionner les termes en L²
Pour faciliter l’addition, exprimons L² comme (16/16)L² :
(16/16)L² + (9/16)L² = (25/16)L²
L’équation devient :
(25/16)L² = 900
Étape 5 : Isoler L² et calculer L
Pour isoler L², multipliez chaque côté de l’équation par (16/25) :
L² = 900 × (16/25)
Calculons 900 × 16 = 14400, puis divisons par 25 :
L² = 14400 / 25
L² = 576
Pour trouver L, on prend la racine carrée :
L = √576 = 24
La longueur du rectangle est donc de 24 dm.
Étape 6 : Calculer la largeur
Utilisons la relation de départ :
ℓ = (3/4) × L
ℓ = (3/4) × 24
Calculons :
(3/4) de 24 = 18
La largeur du rectangle est donc de 18 dm.
Conclusion :
Les dimensions du rectangle sont :
Longueur = 24 dm
Largeur = 18 dm
Cette solution utilise le théorème de Pythagore pour relier la diagonale à la longueur et à la largeur, puis les remplacements et calculs nous permettent de trouver les valeurs finales en suivant une démarche précise et organisée.