Exercice 27

Question: \[ DEF \text{ est un triangle rectangle en } F. \] Dans chacun des cas suivants, calcule la longueur du côté manquant.

Cas 1 : \(DF = 12\ \text{cm}\) et \(EF = 5\ \text{cm}\).

Cas 2 : \(DE = 3,4\ \text{m}\) et \(EF = 15\ \text{dm}\).

Cas 3 : \(DE = 10,2\ \text{cm}\) et \(DF = 47\ \text{mm}\).

Réponse

Réponses :

1. La longueur de \(DE\) est de 13 cm.
2. La longueur de \(DF\) est d’environ 3,05 mètres.
3. La longueur de \(EF\) est d’environ 9,05 cm.

Corrigé détaillé

Correction des exercices

Nous avons un triangle rectangle \(DEF\) avec l’angle droit en \(F\). Utilisons le théorème de Pythagore qui stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (\(DE\)) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (\(DF\) et \(EF\)).

Le théorème de Pythagore s’énonce ainsi : \[ DE^2 = DF^2 + EF^2 \]

Cas 1 : \(DF = 12\ \text{cm}\) et \(EF = 5\ \text{cm}\)

Nous cherchons la longueur de \(DE\).

1. Appliquer le théorème de Pythagore : \[ DE^2 = DF^2 + EF^2 \]

2. Remplacer les valeurs connues : \[ DE^2 = (12\ \text{cm})^2 + (5\ \text{cm})^2 \]

3. Calculer les carrés : \[ DE^2 = 144\ \text{cm}^2 + 25\ \text{cm}^2 = 169\ \text{cm}^2 \]

4. Extraire la racine carrée pour trouver \(DE\) : \[ DE = \sqrt{169\ \text{cm}^2} = 13\ \text{cm} \]

Réponse : La longueur du côté \(DE\) est de 13 cm.

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Cas 2 : \(DE = 3,4\ \text{m}\) et \(EF = 15\ \text{dm}\)

Nous cherchons la longueur de \(DF\). Avant d’appliquer le théorème de Pythagore, il faut s’assurer que les unités sont les mêmes.

1. Convertir toutes les mesures dans la même unité :

   • Convertissons les décimètres en mètres : \[ 15\ \text{dm} = 1,5\ \text{m} \]

2. Appliquer le théorème de Pythagore : \[ DF^2 = DE^2 - EF^2 \]

3. Remplacer les valeurs connues : \[ DF^2 = (3,4\ \text{m})^2 - (1,5\ \text{m})^2 \]

4. Calculer les carrés : \[ DF^2 = 11,56\ \text{m}^2 - 2,25\ \text{m}^2 = 9,31\ \text{m}^2 \]

5. Extraire la racine carrée pour trouver \(DF\) : \[ DF = \sqrt{9,31\ \text{m}^2} \approx 3,05\ \text{m} \]

Réponse : La longueur du côté \(DF\) est d’environ 3,05 mètres.

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Cas 3 : \(DE = 10,2\ \text{cm}\) et \(DF = 47\ \text{mm}\)

Nous cherchons la longueur de \(EF\). Il est nécessaire de convertir les unités pour travailler dans la même mesure.

1. Convertir les millimètres en centimètres : \[ 47\ \text{mm} = 4,7\ \text{cm} \]

2. Appliquer le théorème de Pythagore : \[ EF^2 = DE^2 - DF^2 \]

3. Remplacer les valeurs connues : \[ EF^2 = (10,2\ \text{cm})^2 - (4,7\ \text{cm})^2 \]

4. Calculer les carrés : \[ EF^2 = 104,04\ \text{cm}^2 - 22,09\ \text{cm}^2 = 81,95\ \text{cm}^2 \]

5. Extraire la racine carrée pour trouver \(EF\) : \[ EF = \sqrt{81,95\ \text{cm}^2} \approx 9,05\ \text{cm} \]

Réponse : La longueur du côté \(EF\) est d’environ 9,05 cm.