L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure \(10\) cm. Un côté de l’angle droit mesure les trois quarts de l’autre. Calculer la longueur des côtés de l’angle droit.
Les deux côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 8 cm.
Nous commençons par montrer la démarche pas à pas.
Soit a et b les longueurs des deux côtés de l’angle droit. On
sait que l’un des côtés vaut les trois quarts de l’autre. Par exemple,
on peut poser :
a = (3/4) × b.
D’après le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle, on a
:
a² + b² = hypotenuse².
Ici, l’hypoténuse mesure 10 cm, donc :
a² + b² = 10² = 100.
En remplaçant a par (3/4) × b dans l’équation, on obtient :
[(3/4) × b]² + b² = 100.
Calculons [(3/4) × b]² : (3/4)² × b² = (9/16) × b².
L’équation devient donc :
(9/16) b² + b² = 100.
Pour simplifier, écrivons b² comme (16/16) b² et additionnons
ensuite :
(9/16) b² + (16/16) b² = (25/16) b² = 100.
Résolvons l’équation pour b² :
b² = 100 × (16/25).
Le calcul donne :
b² = (100 × 16) / 25 = 1600/25 = 64.
On en déduit :
b = √64 = 8 cm.
Enfin, calculons a à partir de la relation a = (3/4) × b :
a = (3/4) × 8 = 6 cm.
Conclusion :
Les longueurs des côtés de l’angle droit sont 6 cm et 8 cm.