Question : Un écran au format \(4:3\) a une largeur égale aux quatre tiers de sa hauteur.
Quelle est la longueur de la diagonale de l’écran si la hauteur est de \(360\,\text{mm}\) ?
La diagonale de l’écran est de 600 mm.
Correction détaillée :
Nous devons déterminer la longueur de la diagonale d’un écran dont le format est \(4:3\) et dont la hauteur est de \(360\,\text{mm}\).
Le format \(4:3\) signifie que la largeur de l’écran est à la hauteur ce que 4 est à 3. Mathématiquement, cela se traduit par :
\[ \frac{\text{Largeur}}{\text{Hauteur}} = \frac{4}{3} \]
Soit \(L\) la largeur et \(H\) la hauteur, nous avons :
\[ L = \frac{4}{3}H \]
On nous donne la hauteur de l’écran \(H = 360\,\text{mm}\). Utilisons la relation précédente pour trouver la largeur \(L\) :
\[ L = \frac{4}{3} \times 360\,\text{mm} = \frac{4 \times 360}{3}\,\text{mm} = \frac{1440}{3}\,\text{mm} = 480\,\text{mm} \]
Donc, la largeur de l’écran est de \(480\,\text{mm}\).
Pour trouver la diagonale \(D\) de l’écran, qui est la diagonale d’un rectangle, nous utilisons le théorème de Pythagore :
\[ D^2 = L^2 + H^2 \]
Remplaçons \(L\) et \(H\) par leurs valeurs :
\[ D^2 = (480\,\text{mm})^2 + (360\,\text{mm})^2 \]
Calculons chaque terme :
\[ (480)^2 = 230400\,\text{mm}^2 \] \[ (360)^2 = 129600\,\text{mm}^2 \]
Additionnons les deux résultats :
\[ D^2 = 230400\,\text{mm}^2 + 129600\,\text{mm}^2 = 360000\,\text{mm}^2 \]
Pour trouver \(D\), nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation :
\[ D = \sqrt{360000\,\text{mm}^2} = 600\,\text{mm} \]
La longueur de la diagonale de l’écran est de \(600\,\text{mm}\).