Question : Une armoire a la forme d’un pavé droit dont les dimensions sont \(48 \mathrm{~cm} \times 90 \mathrm{~cm} \times 40 \mathrm{~cm}\). À l’intérieur, un câble est tendu d’un coin à l’autre.
Quelle peut être la longueur maximale de ce câble ?
La longueur maximale du câble est d’environ 109,56 cm.
Correction détaillée :
Pour déterminer la longueur maximale du câble tendu d’un coin à l’autre de l’armoire en forme de pavé droit, nous devons calculer la diagonale spatiale de ce pavé. Voici les étapes à suivre :
L’armoire a les dimensions suivantes : - Longueur (\(L\)) : \(48\,\mathrm{cm}\) - Largeur (\(l\)) : \(90\,\mathrm{cm}\) - Hauteur (\(h\)) : \(40\,\mathrm{cm}\)
La diagonale spatiale d’un pavé droit est la ligne droite qui relie deux coins opposés passant par l’intérieur du pavé. Sa longueur peut être calculée à l’aide de la formule suivante :
\[ d = \sqrt{L^2 + l^2 + h^2} \]
Remplaçons les variables par les dimensions de l’armoire :
\[ d = \sqrt{(48\,\mathrm{cm})^2 + (90\,\mathrm{cm})^2 + (40\,\mathrm{cm})^2} \]
\[ \begin{align*} (48\,\mathrm{cm})^2 &= 48 \times 48 = 2304\,\mathrm{cm}^2 \\ (90\,\mathrm{cm})^2 &= 90 \times 90 = 8100\,\mathrm{cm}^2 \\ (40\,\mathrm{cm})^2 &= 40 \times 40 = 1600\,\mathrm{cm}^2 \\ \end{align*} \]
\[ 2304\,\mathrm{cm}^2 + 8100\,\mathrm{cm}^2 + 1600\,\mathrm{cm}^2 = 12004\,\mathrm{cm}^2 \]
\[ d = \sqrt{12004\,\mathrm{cm}^2} \approx 109.56\,\mathrm{cm} \]
La longueur maximale du câble qui peut être tendu d’un coin à l’autre de l’armoire est d’environ 109,56 cm.