Exercice 22

Question : Un arbre frange est planté de manière à ce que sa cime atteigne un point situé à 3 m au-dessus du sol. La base de l’arbre se trouve à une distance horizontale de \(2{,}00\,\mathrm{m}\) de la maison. Quelle est la longueur de l’arbre frange ?

Réponse

La longueur de l’arbre frange est d’environ 3,61 mètres.

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Pour déterminer la longueur de l’arbre frange, nous allons modéliser la situation à l’aide d’un triangle rectangle. Voici les étapes à suivre :

1. Compréhension du problème :

   • Côté vertical (hauteur de la frange) : La cime de l’arbre est située à 3 m au-dessus du sol.
   • Côté horizontal (distance à la maison) : La base de l’arbre est à 2,00 m de la maison.
   • Hypothèse : La longueur de l’arbre frange correspond à l’hypoténuse d’un triangle rectangle formé par ces deux distances.

2. Représentation graphique :

   

   Figure : Triangle rectangle formé par la hauteur de l’arbre frange et la distance à la maison.

3. Application du théorème de Pythagore :

   Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore stipule que :

   \[ \text{Hypoténuse}^2 = \text{Côté adjacent}^2 + \text{Côté opposé}^2 \]

   Appliquons ce théorème à notre situation :

   • Hypoténuse (longueur de l’arbre frange) : \(l\)
   • Côté adjacent (distance horizontale) : \(2{,}00\,\mathrm{m}\)
   • Côté opposé (hauteur de la frange) : \(3\,\mathrm{m}\)

   L’équation devient :

   \[ l^2 = (2{,}00\,\mathrm{m})^2 + (3\,\mathrm{m})^2 \]

4. Calcul des carrés :

   Calculons les carrés des deux côtés :

   \[ (2{,}00\,\mathrm{m})^2 = 4{,}00\,\mathrm{m^2} \]

   \[ (3\,\mathrm{m})^2 = 9\,\mathrm{m^2} \]

5. Addition des résultats :

   Additionnons les deux résultats obtenus :

   \[ l^2 = 4{,}00\,\mathrm{m^2} + 9\,\mathrm{m^2} = 13\,\mathrm{m^2} \]

6. Calcul de la longueur de l’arbre frange :

   Pour trouver \(l\), prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation :

   \[ l = \sqrt{13\,\mathrm{m^2}} = \sqrt{13}\,\mathrm{m} \]

   Approximativement :

   \[ \sqrt{13} \approx 3{,}605\,\mathrm{m} \]

   Donc :

   \[ l \approx 3{,}61\,\mathrm{m} \]

7. Conclusion :

   La longueur de l’arbre frange est donc d’environ 3,61 mètres.