Question : Pour les trois triangles rectangles suivants, calcule la mesure du côté manquant.
Triangle \(JKL\), rectangle en \(K\), avec \(JK = 7\,\mathrm{cm}\) et \(KL = 24\,\mathrm{cm}\).
Triangle \(MNO\), rectangle en \(O\), avec \(MN = 5\,\mathrm{m}\) et \(MO = 13\,\mathrm{m}\).
Triangle \(PQR\), rectangle en \(R\), avec \(PQ = 1,2\,\mathrm{dam}\) et \(QR = 2,5\,\mathrm{dam}\).
Réponses : - a) \(JL = 25\,\mathrm{cm}\) - b) \(NO = 12\,\mathrm{m}\) - c) \(PR = 2,77\,\mathrm{dam}\)
Nous allons résoudre chacun des triangles rectangles en utilisant le théorème de Pythagore, qui est très utile pour trouver la longueur d’un côté d’un triangle rectangle lorsque les deux autres côtés sont connus.
Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Formellement, si \(a\) et \(b\) sont les côtés de l’angle droit et \(c\) l’hypoténuse, alors:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Étape 1 : Identifier les côtés
Étape 2 : Appliquer le théorème de Pythagore
\[ JL^2 = JK^2 + KL^2 \]
\[ JL^2 = 7^2 + 24^2 \]
\[ JL^2 = 49 + 576 \]
\[ JL^2 = 625 \]
Étape 3 : Calculer \(JL\)
\[ JL = \sqrt{625} = 25\,\mathrm{cm} \]
Réponse : La mesure du côté manquant \(JL\) est \(25\,\mathrm{cm}\).
Étape 1 : Identifier les côtés
Étape 2 : Appliquer le théorème de Pythagore
\[ MO^2 = MN^2 + NO^2 \]
\[ 13^2 = 5^2 + NO^2 \]
\[ 169 = 25 + NO^2 \]
Étape 3 : Isoler \(NO^2\)
\[ NO^2 = 169 - 25 = 144 \]
Étape 4 : Calculer \(NO\)
\[ NO = \sqrt{144} = 12\,\mathrm{m} \]
Réponse : La mesure du côté manquant \(NO\) est \(12\,\mathrm{m}\).
Remarque sur les unités : - \(1\,\mathrm{dam} = 10\,\mathrm{m}\), mais puisque les deux côtés sont en décamètres (\(\mathrm{dam}\)), nous pouvons appliquer directement le théorème de Pythagore.
Étape 1 : Identifier les côtés
Étape 2 : Appliquer le théorème de Pythagore
\[ PQ^2 = PR^2 + QR^2 \]
\[ 1,2^2 = PR^2 + 2,5^2 \]
\[ 1,44 = PR^2 + 6,25 \]
Étape 3 : Isoler \(PR^2\)
\[ PR^2 = 1,44 - 6,25 = -4,81 \]
Étape 4 : Interprétation
Cependant, obtenir un carré négatif indique qu’il y a une erreur dans les données fournies, car une longueur ne peut pas être négative. Cela signifie que l’hypoténuse \(PQ\) doit être plus longue que les autres côtés \(PR\) et \(QR\).
Vérification des données :
En réalité, si \(PQ\) est l’hypoténuse, elle devrait être plus longue que \(QR\). Or, \(PQ = 1,2\,\mathrm{dam}\) et \(QR = 2,5\,\mathrm{dam}\), ce qui est impossible dans un triangle rectangle. Il semble qu’il y ait une confusion dans les côtés désignés.
Correction : Supposons que \(PR\) soit l’hypoténuse. Alors:
\[ PR^2 = PQ^2 + QR^2 \]
\[ PR^2 = 1,2^2 + 2,5^2 \]
\[ PR^2 = 1,44 + 6,25 = 7,69 \]
\[ PR = \sqrt{7,69} = 2,77\,\mathrm{dam} \]
Réponse corrigée : La mesure du côté manquant \(PR\) est \(2,77\,\mathrm{dam}\).