Exercice 20

Question : Un étang carré de \(12\) mètres de côté contient un roseau au centre. Le roseau s’élève, depuis le fond, à \(2\) mètres au-dessus du niveau de l’eau. Si l’on tire le roseau vers le milieu d’un des côtés, il atteint exactement le bord de l’étang.

Quelle est la profondeur de l’eau ?

Réponse

La profondeur de l’eau est de 4 mètres.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Énoncé : Un étang carré de \(12\) mètres de côté contient un roseau au centre. Le roseau s’élève, depuis le fond, à \(2\) mètres au-dessus du niveau de l’eau. Si l’on tire le roseau vers le milieu d’un des côtés, il atteint exactement le bord de l’étang.

Question : Quelle est la profondeur de l’eau ?

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Analyse du problème

1. Comprendre la disposition géométrique :
   • L’étang est de forme carrée avec des côtés de \(12\) mètres.
   • Le roseau est positionné au centre de l’étang.
   • Lorsque le roseau est tiré vers le milieu d’un côté, il atteint le bord de l’étang.
2. Identifier les éléments connus :
   • Longueur d’un côté de l’étang : \(12\) mètres.
   • Hauteur du roseau au-dessus de l’eau : \(2\) mètres.
3. Objectif :
   • Déterminer la profondeur de l’eau, c’est-à-dire la distance entre le fond de l’étang et le niveau de l’eau.

Étapes de résolution

1. Déterminer la position initiale du roseau

Le roseau est au centre de l’étang. Comme l’étang est carré, les coordonnées du centre sont à \((6, 6)\) mètres si l’on considère un système de coordonnées où un coin de l’étang est à \((0,0)\).

2. Tirer le roseau vers le milieu d’un côté

Supposons que l’on tire le roseau vers le milieu du côté supérieur de l’étang. Le milieu de ce côté est à \((6, 12)\) mètres.

3. Comprendre le déplacement du roseau

Lorsque le roseau est tiré vers le milieu du côté, il forme une droite entre le centre de l’étang et le milieu du côté. La longueur de cette droite doit être équivalente à la longueur totale du roseau.

4. Calculer la distance du centre au bord

La distance entre le centre \((6, 6)\) mètres et le milieu du côté \((6, 12)\) mètres est de :

\[ \text{Distance} = \sqrt{(6-6)^2 + (12-6)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6 \text{ mètres} \]

5. Établir la relation avec le roseau

Le roseau atteint le bord de l’étang lorsqu’il est tiré. La longueur totale du roseau est donc composée de deux parties : - La partie au-dessus de l’eau : \(2\) mètres. - La partie immergée : \(x\) mètres (profondeur de l’eau).

Ainsi, la longueur totale du roseau est :

\[ \text{Longueur totale} = x + 2 \text{ mètres} \]

6. Relier la longueur du roseau à la distance parcourue

Lorsque le roseau est tiré jusqu’au bord, la longueur totale du roseau doit être égale à la distance parcourue, soit \(6\) mètres.

\[ x + 2 = 6 \]

7. Résoudre l’équation pour trouver \(x\)

\[ x + 2 = 6 \\ x = 6 - 2 \\ x = 4 \text{ mètres} \]

Conclusion

La profondeur de l’eau est de \(4\) mètres.

Réponse

La profondeur de l’eau est de \(4\) mètres.