Dans un triangle rectangle, les côtés de l’angle droit mesurent \(3\ \text{cm}\) et \(4\ \text{cm}\). Un autre triangle rectangle, semblable au précédent, a une hypoténuse qui mesure \(35\ \text{cm}\). Calculer l’aire du second triangle.
Les triangles sont similaires avec un rapport de 7. L’aire du second triangle est donc de 294 cm².
Correction détaillée
Nous devons calculer l’aire d’un second triangle rectangle similaire au premier, dont l’hypoténuse mesure \(35\ \text{cm}\). Suivons les étapes ci-dessous pour arriver à la solution.
Le premier triangle rectangle a : - Un côté adjacent à l’angle droit de \(3\ \text{cm}\) - Un côté opposé à l’angle droit de \(4\ \text{cm}\)
Calcul de l’hypoténuse du premier triangle :
Selon le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
\[ \text{Hypoténuse}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ \text{Hypoténuse} = \sqrt{25} = 5\ \text{cm} \]
Donc, le premier triangle a une hypoténuse de \(5\ \text{cm}\).
Les triangles sont similaires, ce qui signifie que leurs côtés correspondants sont proportionnels.
Notons : - \(k\) le rapport de similitude. - Hypoténuse du second triangle : \(35\ \text{cm}\)
On sait que l’hypoténuse du premier triangle est \(5\ \text{cm}\). Donc :
\[ k = \frac{\text{Hypoténuse du second triangle}}{\text{Hypoténuse du premier triangle}} = \frac{35}{5} = 7 \]
Puisque les triangles sont similaires avec un rapport de \(k = 7\), les côtés du second triangle sont :
L’aire d’un triangle rectangle se calcule en multipliant les deux côtés de l’angle droit et en divisant par deux.
\[ \text{Aire} = \frac{\text{Côté adjacent} \times \text{Côté opposé}}{2} = \frac{21 \times 28}{2} \] \[ \text{Aire} = \frac{588}{2} = 294\ \text{cm}^2 \]
L’aire du second triangle est de \(294\ \text{cm}^2\).