Exercice 16

Soit un carré de côté \(c\).

1. Exprimez, par un nombre exact, le rapport entre la longueur de la diagonale du carré et la longueur de son côté.

2. Quelle est la longueur de la diagonale d’un carré dont le côté mesure 10 cm ?

Réponse

Le rapport entre la diagonale et le côté d’un carré est √2, donc pour un carré de côté 10 cm, la diagonale mesure 10√2 cm.

Corrigé détaillé

Nous considérons un carré dont chaque côté mesure c.

Étape 1 : Expression du rapport entre la diagonale et le côté

Pour trouver la diagonale d’un carré, on peut utiliser le théorème de Pythagore. Si on dessine la diagonale d’un carré, elle forme avec deux côtés deux triangles rectangles égaux. Dans l’un de ces triangles rectangles, les deux côtés de longueur c sont les deux côtés adjacents à l’angle droit et la diagonale (notée d) est l’hypoténuse.

D’après le théorème de Pythagore, on a :   d² = c² + c²

Cela se simplifie en :   d² = 2c²

Pour obtenir d, on prend la racine carrée des deux côtés de l’égalité :   d = √(2c²) = c√2

Le rapport entre la diagonale et le côté est donc :   (d / c) = (c√2) / c = √2

La réponse exacte du rapport est √2.

Étape 2 : Longueur de la diagonale d’un carré de côté 10 cm

Nous avons trouvé que pour un carré de côté c, la diagonale vaut :   d = c√2

Pour un carré où c = 10 cm, nous remplaçons c par 10 :   d = 10√2 cm

La longueur de la diagonale est donc 10√2 cm.

Conclusion :

1. Le rapport entre la longueur de la diagonale du carré et la longueur de son côté est √2.
2. La diagonale d’un carré de côté 10 cm mesure 10√2 cm.