Question : Voici les dimensions de plusieurs cartons, tous ayant la forme d’un parallélépipède rectangle.
Dans lequel pourrez-vous placer la planche la plus longue, sans la plier ?
| Carton | Dimensions (dm) |
|---|---|
| A | \(4\), \(2.5\), \(3\) |
| B | \(5\), \(2\), \(2.5\) |
| C | \(3.5\), \(2\), \(1.5\) |
| D | \(2.5\), \(3\), \(4.5\) |
| E | \(5.5\), \(1.5\), \(2\) |
| F | \(\sqrt{5}\), \(2\sqrt{2}\), \(3\sqrt{1.5}\) |
Le carton E possède la diagonale la plus longue (≈6,04 dm), permettant d’y placer la planche sans la plier.
Correction détaillée : Placement de la planche la plus longue dans un carton
Pour déterminer dans quel carton il est possible de placer la planche la plus longue sans la plier, nous devons calculer la longueur de la diagonale intérieure de chaque carton. Cette diagonale représente la plus grande longueur possible à l’intérieur du carton.
La formule pour calculer la diagonale \(d\) d’un parallélépipède rectangle avec des dimensions \(a\), \(b\) et \(c\) est la suivante :
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]
Nous allons appliquer cette formule à chaque carton pour déterminer la diagonale correspondante.
\[ d_A = \sqrt{4^2 + 2,5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 6,25 + 9} = \sqrt{31,25} \approx 5,59 \text{ dm} \]
\[ d_B = \sqrt{5^2 + 2^2 + 2,5^2} = \sqrt{25 + 4 + 6,25} = \sqrt{35,25} \approx 5,94 \text{ dm} \]
\[ d_C = \sqrt{3,5^2 + 2^2 + 1,5^2} = \sqrt{12,25 + 4 + 2,25} = \sqrt{18,5} \approx 4,30 \text{ dm} \]
\[ d_D = \sqrt{2,5^2 + 3^2 + 4,5^2} = \sqrt{6,25 + 9 + 20,25} = \sqrt{35,5} \approx 5,96 \text{ dm} \]
\[ d_E = \sqrt{5,5^2 + 1,5^2 + 2^2} = \sqrt{30,25 + 2,25 + 4} = \sqrt{36,5} \approx 6,04 \text{ dm} \]
Calculons d’abord les carrés des dimensions :
\[ (\sqrt{5})^2 = 5 \] \[ (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8 \] \[ (3\sqrt{1,5})^2 = 9 \times 1,5 = 13,5 \]
Maintenant, calculons la diagonale :
\[ d_F = \sqrt{5 + 8 + 13,5} = \sqrt{26,5} \approx 5,15 \text{ dm} \]
| Carton | Diagonale (\(d\) en dm) |
|---|---|
| A | 5,59 |
| B | 5,94 |
| C | 4,30 |
| D | 5,96 |
| E | 6,04 |
| F | 5,15 |
Le carton E possède la diagonale la plus longue (\(\approx 6,04\) dm). Ainsi, c’est dans le carton E que vous pourrez placer la planche la plus longue sans la plier.