Exercice 13

Question :

1. Le triangle \(ABC\), rectangle en \(B\), est tel que \(AB = 5\,\text{cm}\) et \(AC = 13\,\text{cm}\).

Quelle est la mesure du côté \(BC\) ?

2. Les dimensions d’un rectangle sont de 9 cm et de 40 cm.

Quelle est la distance entre un sommet et la diagonale qui ne passe pas par ce sommet ?

Réponse

Réponses :

1. \(BC = 12\,\text{cm}\).

2. La distance est d’environ \(8{,}78\,\text{cm}\).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

a) Mesure du côté \(BC\) dans le triangle \(ABC\)

Énoncé : Le triangle \(ABC\), rectangle en \(B\), est tel que \(AB = 5\,\text{cm}\) et \(AC = 13\,\text{cm}\). Quelle est la mesure du côté \(BC\) ?

Correction :

1. Identifier les éléments du triangle :

   • Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), ce qui signifie que l’angle \(ABC\) est de \(90^\circ\).
   • Les côtés \(AB\) et \(BC\) sont les côtés adjacents à l’angle droit.
   • Le côté \(AC\) est l’hypoténuse du triangle.

2. Utiliser le théorème de Pythagore :

   Le théorème de Pythagore s’énonce ainsi : \[ \text{(Côté adjacent)}^2 + \text{(Autre côté adjacent)}^2 = \text{(Hypoténuse)}^2 \]

   Dans notre cas : \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]

3. Remplacer par les valeurs connues : \[ 5^2 + BC^2 = 13^2 \] \[ 25 + BC^2 = 169 \]

4. Isoler \(BC^2\) : \[ BC^2 = 169 - 25 \] \[ BC^2 = 144 \]

5. Calculer \(BC\) : \[ BC = \sqrt{144} = 12\,\text{cm} \]

Réponse : La mesure du côté \(BC\) est de 12 cm.

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b) Distance entre un sommet et la diagonale dans un rectangle

Énoncé : Les dimensions d’un rectangle sont de 9 cm et de 40 cm. Quelle est la distance entre un sommet et la diagonale qui ne passe pas par ce sommet ?

Correction :

1. Comprendre la figure :

   • Le rectangle a des côtés de longueurs \(a = 9\,\text{cm}\) et \(b = 40\,\text{cm}\).
   • La diagonale du rectangle est la ligne qui relie deux sommets opposés.

2. Calculer la longueur de la diagonale :

   Utilisons le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de la diagonale \(d\) : \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] \[ d = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41\,\text{cm} \]

3. Déterminer la distance cherchée :

   La distance entre un sommet et la diagonale opposée peut être vue comme la hauteur relative à cette diagonale dans l’un des triangles formés par la diagonale.

   La formule générale pour la hauteur \(h\) relative à une diagonale \(d\) dans un rectangle est : \[ h = \frac{a \times b}{d} \]

4. Appliquer les valeurs connues : \[ h = \frac{9 \times 40}{41} = \frac{360}{41} \approx 8{,}78\,\text{cm} \]

Réponse : La distance entre un sommet et la diagonale qui ne passe pas par ce sommet est d’environ 8,78 cm.