Exercice 12
Question :
a) Construis un triangle \(ABC\) dont
les côtés mesurent :
- \(AB = 7\ \text{cm}\),
- \(AC = 5\ \text{cm}\),
- \(BC = 9\ \text{cm}\).
À vue d’œil, ce triangle est-il rectangle ?
- Vérifie ta réponse en utilisant le théorème de Pythagore.
Réponse
La construction du triangle \(ABC\) avec \(AB = 7\) cm, \(AC = 5\) cm et \(BC = 9\) cm montre qu’il n’est pas rectangle, car \(7² + 5² \neq 9²\). Le théorème de Pythagore confirme que \(74 \neq 81\).
Corrigé détaillé
Correction de l’exercice
Partie a) Construction et observation du triangle
Nous devons construire un triangle \(ABC\) avec les longueurs suivantes : - \(AB = 7\ \text{cm}\), - \(AC = 5\ \text{cm}\), - \(BC = 9\ \text{cm}\).
Étapes de construction :
- Tracer le côté \(BC\) de \(9\ \text{cm}\).
- À l’extrémité \(B\), tracer un arc de cercle de \(7\ \text{cm}\) (longueur de \(AB\)).
- À l’extrémité \(C\), tracer un arc de cercle de \(5\ \text{cm}\) (longueur de \(AC\)).
- Le point d’intersection des deux arcs sera le sommet \(A\) du triangle.
- Relier les points pour former le triangle \(ABC\).
Observation :
À première vue, pour qu’un triangle soit rectangle, le carré de la plus longue côté (hypoténuse) doit être égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ici, le côté le plus long est \(BC = 9\ \text{cm}\).
Calculons rapidement : \[ 7^2 + 5^2 = 49 + 25 = 74 \] \[ 9^2 = 81 \]
Puisque \(74 \neq 81\), le triangle \(ABC\) n’est pas rectangle à première vue.
Partie b) Vérification avec le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (\(c\)) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (\(a\) et \(b\)) : \[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Appliquons ce théorème au triangle \(ABC\) pour vérifier s’il est rectangle.
Identifier les côtés :
- Hypoténuse supposée : \(BC = 9\ \text{cm}\),
- Autres côtés : \(AB = 7\ \text{cm}\) et \(AC = 5\ \text{cm}\).
Calculer les carrés des longueurs : \[ AB^2 = 7^2 = 49 \] \[ AC^2 = 5^2 = 25 \] \[ BC^2 = 9^2 = 81 \]
Vérifier l’égalité du théorème de Pythagore : \[ AB^2 + AC^2 = 49 + 25 = 74 \] \[ BC^2 = 81 \]
Comme \(74 \neq 81\), l’égalité n’est pas vérifiée.
Conclusion :
Le calcul confirme que le triangle \(ABC\) n’est pas rectangle, car la somme des carrés des deux plus petits côtés n’est pas égale au carré du plus grand côté.