Exercice 11
Question : Un architecte recommande que l’angle entre le sol et le toit d’une véranda soit compris entre \(60^{\circ}\) et \(70^{\circ}\) afin d’assurer une bonne évacuation de l’eau de pluie. On installe une véranda avec une poutre de 10 m de long, de façon que la base de la poutre soit située à 4 m de la base du mur.
Dessine un schéma représentant la situation.
Calcule la hauteur du toit de la véranda. Arrondis le résultat au mètre près.
Cette installation respecte-t-elle la recommandation de l’architecte ?
Réponse
Le toit de la véranda a une hauteur d’environ 9 m et forme un angle de 66° avec le sol, respectant ainsi la recommandation de l’architecte.
Corrigé détaillé
Correction de l’exercice
Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice étape par étape.
a. Dessin du schéma représentant la situation
Pour représenter la situation, nous pouvons dessiner un triangle rectangle où :
- L’hypoténuse représente la poutre de la véranda, qui mesure 10 m.
- Le côté adjacent à l’angle avec le sol représente la base de la poutre, située à 4 m de la base du mur.
- Le côté opposé représente la hauteur du toit de la véranda que nous devons calculer.
Remarque : Comme il s’agit d’un support textuel, veuillez dessiner un triangle rectangle avec les dimensions données.
b. Calcul de la hauteur du toit de la véranda
Nous avons un triangle rectangle où : - L’hypoténuse \(c = 10\) m - Le côté adjacent \(a = 4\) m - Le côté opposé \(b\) représente la hauteur que nous devons déterminer.
Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore qui stipule que : \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
En remplaçant les valeurs connues : \[ 4^2 + b^2 = 10^2 \\ 16 + b^2 = 100 \\ b^2 = 100 - 16 \\ b^2 = 84 \\ b = \sqrt{84} \\ b \approx 9,165 \text{ m} \]
Arrondi au mètre près : \[ b \approx 9 \text{ m} \]
La hauteur du toit de la véranda est donc d’environ 9 m.
c. Vérification de la conformité avec la recommandation de l’architecte
L’architecte recommande que l’angle entre le sol et le toit soit compris entre \(60^{\circ}\) et \(70^{\circ}\).
Nous devons trouver cet angle en utilisant les mesures données.
Dans un triangle rectangle, la tangente de l’angle \(\theta\) est donnée par : \[ \tan(\theta) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{b}{a} \]
En remplaçant les valeurs : \[ \tan(\theta) = \frac{9}{4} \]
Calculons l’angle \(\theta\) : \[ \theta = \arctan\left(\frac{9}{4}\right) \]
En utilisant une calculatrice : \[ \theta \approx 66,04^{\circ} \]
Cet angle est compris entre \(60^{\circ}\) et \(70^{\circ}\), ce qui respecte la recommandation de l’architecte.
Conclusion : Oui, cette installation respecte la recommandation de l’architecte.