Exercice 10
Calculer la hauteur d’un triangle équilatéral dont le côté mesure \(c\).
Réponse
La hauteur \(h\) d’un triangle équilatéral de côté \(c\) est \(h = \frac{c \sqrt{3}}{2}\).
Corrigé détaillé
Pour calculer la hauteur \(h\) d’un triangle équilatéral dont le côté mesure \(c\), nous allons suivre les étapes ci-dessous :
1. Comprendre le triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle où tous les côtés sont de même longueur et toutes les angles sont égaux (chaque angle mesure \(60^\circ\)).
Figure : Triangle équilatéral avec côtés de longueur \(c\) et hauteur \(h\).
2. Dessiner la hauteur
La hauteur d’un triangle est une ligne perpendiculaire tracée depuis un sommet jusqu’au côté opposé. Dans un triangle équilatéral, la hauteur divise le triangle en deux triangles rectangles égaux.
Figure : Hauteur \(h\) divisant le triangle équilatéral en deux triangles rectangles.
3. Analyser le triangle rectangle
En traçant la hauteur \(h\), nous obtenons deux triangles rectangles. Chaque triangle rectangle a :
- Hypoténuse : le côté du triangle équilatéral, de longueur \(c\).
- Un côté adjacent : la moitié du côté du triangle équilatéral, soit \(\frac{c}{2}\).
- Un côté opposé : la hauteur \(h\) que nous voulons trouver.
4. Appliquer le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle :
\[ \text{Hypoténuse}^2 = \text{Côté adjacent}^2 + \text{Côté opposé}^2 \]
Appliquons-le à notre triangle rectangle :
\[ c^2 = \left( \frac{c}{2} \right)^2 + h^2 \]
5. Résoudre pour la hauteur \(h\)
Étape par étape :
- Calculons \(\left( \frac{c}{2} \right)^2\) :
\[ \left( \frac{c}{2} \right)^2 = \frac{c^2}{4} \]
- Remplaçons dans l’équation du théorème de Pythagore :
\[ c^2 = \frac{c^2}{4} + h^2 \]
- Isolons \(h^2\) :
\[ h^2 = c^2 - \frac{c^2}{4} = \frac{4c^2}{4} - \frac{c^2}{4} = \frac{3c^2}{4} \]
- Prenons la racine carrée des deux côtés pour trouver \(h\) :
\[ h = \sqrt{ \frac{3c^2}{4} } = \frac{c \sqrt{3}}{2} \]
6. Conclusion
La hauteur \(h\) d’un triangle équilatéral de côté \(c\) est donnée par :
\[ h = \frac{c \sqrt{3}}{2} \]
Cette formule permet de calculer facilement la hauteur d’un triangle équilatéral en connaissant la longueur de ses côtés.