Exercice 9

1. Le côté d’un losange mesure 37 cm et l’une de ses diagonales mesure 24 cm. Ce losange est-il un carré ?

2. Le côté d’un losange mesure 17 cm et l’une de ses diagonales mesure 24 cm. Ce losange est-il un carré ?

Réponse

Dans les deux exercices, les diagonales du losange ne sont pas de même longueur. Ainsi, ces losanges ne sont pas des carrés.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice 1

Énoncé :
Le côté d’un losange mesure 37 cm et l’une de ses diagonales mesure 24 cm. Ce losange est-il un carré ?

Solution :

Pour déterminer si le losange est un carré, nous devons vérifier si ses diagonales sont de même longueur. En effet, dans un carré, non seulement les côtés sont égaux, mais les diagonales le sont également et se coupent à angle droit.

1. Rappels importants :

   • Un losange a quatre côtés de même longueur.
   • Les diagonales d’un losange se coupent à angle droit et se bisectent.
   • Pour un losange quelconque, la relation entre le côté \(c\) et les diagonales \(d_1\) et \(d_2\) est donnée par la formule : \[ c^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]

2. Données de l’exercice :

   • Longueur du côté \(c = 37\) cm
   • Longueur d’une diagonale \(d_1 = 24\) cm

3. Calcul de l’autre diagonale \(d_2\) : Utilisons la formule mentionnée ci-dessus pour trouver \(d_2\).

   \[ 37^2 = \left(\frac{24}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ 1369 = 12^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ 1369 = 144 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 1369 - 144 = 1225 \] \[ \frac{d_2}{2} = \sqrt{1225} = 35 \] \[ d_2 = 35 \times 2 = 70 \text{ cm} \]

4. Vérification si le losange est un carré :

   • Dans un carré, les deux diagonales sont de même longueur.
   • Ici, nous avons \(d_1 = 24\) cm et \(d_2 = 70\) cm.
   • Comme \(24\) cm \(\neq\) \(70\) cm, les diagonales ne sont pas égales.

Conclusion :
Le losange n’est pas un carré car ses diagonales ne sont pas de même longueur.

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Correction de l’exercice 2

Énoncé :
Le côté d’un losange mesure 17 cm et l’une de ses diagonales mesure 24 cm. Ce losange est-il un carré ?

Solution :

Pour déterminer si le losange est un carré, nous devons vérifier si ses diagonales sont de même longueur. Suivons les mêmes étapes que dans l’exercice précédent.

1. Rappels importants :

   • Un losange a quatre côtés de même longueur.
   • Les diagonales d’un losange se coupent à angle droit et se bisectent.
   • La relation entre le côté \(c\) et les diagonales \(d_1\) et \(d_2\) est : \[ c^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]

2. Données de l’exercice :

   • Longueur du côté \(c = 17\) cm
   • Longueur d’une diagonale \(d_1 = 24\) cm

3. Calcul de l’autre diagonale \(d_2\) : Utilisons la formule pour trouver \(d_2\).

   \[ 17^2 = \left(\frac{24}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ 289 = 12^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ 289 = 144 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 289 - 144 = 145 \] \[ \frac{d_2}{2} = \sqrt{145} \approx 12,0416 \text{ cm} \] \[ d_2 \approx 12,0416 \times 2 \approx 24,0832 \text{ cm} \]

4. Vérification si le losange est un carré :

   • Dans un carré, les deux diagonales doivent être également de même longueur.
   • Ici, nous avons \(d_1 = 24\) cm et \(d_2 \approx 24,0832\) cm.
   • Bien que ces valeurs soient très proches, elles ne sont pas exactement égales.

Conclusion :
Le losange n’est pas un carré car ses diagonales ne sont pas de même longueur.