Trouvez les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle, sachant que l’hypoténuse est 4 cm plus longue qu’un des côtés de l’angle droit et que ce côté est lui-même 4 cm plus long que l’autre côté de l’angle droit.
Les longueurs des côtés sont 12 cm, 16 cm et 20 cm.
Énonçons d’abord le problème avec des inconnues simples. Soit :
• a = longueur du plus petit côté de l’angle droit
• b = longueur de l’autre côté de l’angle droit
• c = longueur de l’hypoténuse
D’après l’énoncé, on sait que :
L’hypoténuse est 4 cm plus longue qu’un côté de l’angle droit.
Choisissons b comme ce côté, donc :
c = b + 4
Ce même côté (b) est lui-même 4 cm plus long que l’autre côté a,
ainsi :
b = a + 4
Ainsi, on peut exprimer c en fonction de a :
c = (a + 4) + 4 = a + 8
Maintenant, dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore nous
dit que :
a² + b² = c²
Substituons b et c par leurs expressions en fonction de a :
a² + (a + 4)² = (a + 8)²
Développons chaque terme :
• (a + 4)² = a² + 8a + 16
• (a + 8)² = a² + 16a + 64
L’équation devient donc :
a² + (a² + 8a + 16) = a² + 16a + 64
Simplifions le côté gauche :
2a² + 8a + 16 = a² + 16a + 64
Pour résoudre cette équation, ramenons tous les termes d’un côté de
l’égalité :
2a² + 8a + 16 − a² − 16a − 64 = 0
a² − 8a − 48 = 0
Nous obtenons ainsi une équation quadratique :
a² − 8a − 48 = 0
Nous pouvons résoudre cette équation en calculant le discriminant (Δ)
:
Δ = (−8)² − 4 × 1 × (−48) = 64 + 192 = 256
Les solutions de l’équation sont :
a = [8 ± √256] / 2
a = [8 ± 16] / 2
On obtient deux valeurs possibles pour a :
• a = (8 + 16) / 2 = 24 / 2 = 12
• a = (8 − 16) / 2 = (−8) / 2 = −4
Mais puisque la longueur ne peut pas être négative, on retient uniquement a = 12 cm.
Maintenant, calculons les autres côtés :
• b = a + 4 = 12 + 4 = 16 cm
• c = a + 8 = 12 + 8 = 20 cm
Pour vérifier, appliquons le théorème de Pythagore :
12² + 16² = 144 + 256 = 400
20² = 400
400 = 400, ce qui confirme la solution.
Conclusion :
Les longueurs des côtés du triangle rectangle sont 12 cm, 16 cm, et 20
cm.