Soit un triangle rectangle. Un côté de l’angle droit mesure 8 cm et l’autre mesure les trois cinquièmes de l’hypoténuse. Calculer la longueur de l’hypoténuse.
L’hypoténuse mesure 10 cm.
Nous avons un triangle rectangle dans lequel l’un des côtés de l’angle droit mesure 8 cm et l’autre côté de l’angle droit mesure les trois cinquièmes de l’hypoténuse. Pour déterminer la longueur de l’hypoténuse, nous allons utiliser le théorème de Pythagore qui dit que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Étape 1 : Définir les inconnues
Soit c la longueur de l’hypoténuse.
Nous connaissons un côté égal à 8 cm et l’autre côté vaut (3/5)c.
Étape 2 : Écrire l’équation selon le théorème de Pythagore
D’après le théorème de Pythagore, on a :
(8)² + [(3/5)c]² = c²
Étape 3 : Développer les carrés
Calculons chacun des termes :
8² = 64
[(3/5)c]² = (3/5)² × c² = (9/25)c²
L’équation devient alors :
64 + (9/25)c² = c²
Étape 4 : Isoler c²
Nous devons organiser l’équation pour trouver c² :
64 = c² - (9/25)c²
Il faut factoriser c² à droite :
64 = c² [1 - 9/25]
Calculons 1 - 9/25 :
1 = 25/25, ainsi
25/25 - 9/25 = 16/25
L’équation se transforme en :
64 = (16/25)c²
Étape 5 : Résoudre pour c²
Pour isoler c², multiplions chaque côté de l’équation par l’inverse de
(16/25), c’est-à-dire (25/16) :
c² = 64 × (25/16)
Simplifions :
64 ÷ 16 = 4, donc
c² = 4 × 25 = 100
Étape 6 : Trouver la valeur de c
Comme c² = 100, on prend la racine carrée :
c = √100 = 10
Conclusion :
La longueur de l’hypoténuse est donc de 10 cm.