Exercice 3

Question : Où se trouve le point \(D\) afin que le triangle \(ABD\) soit rectangle en \(D\) et que \(BD = 4\,\mathrm{cm}\) ?

Réponse

Le point \(D\) est situé à \(4\,\mathrm{cm}\) de \(B\) sur la droite perpendiculaire à \(AB\). Il y a deux positions possibles pour \(D\), de chaque côté de \(AB\).

Corrigé détaillé

Pour déterminer l’emplacement du point \(D\) tel que le triangle \(ABD\) soit rectangle en \(D\) et que \(BD = 4\,\mathrm{cm}\), suivons les étapes ci-dessous.

Étape 1 : Comprendre le problème

Nous avons deux points fixes \(A\) et \(B\). Nous devons trouver le point \(D\) de manière à ce que : 1. Le triangle \(ABD\) soit rectangle en \(D\). 2. La longueur \(BD = 4\,\mathrm{cm}\).

Étape 2 : Propriétés des triangles rectangles

Dans un triangle rectangle, le point où se situe l’angle droit (ici, \(D\)) doit satisfaire les conditions suivantes : - Les segments formant l’angle droit (\(AD\) et \(BD\)) doivent être perpendiculaires. - Le théorème de Pythagore s’applique : \(AB^2 = AD^2 + BD^2\).

Étape 3 : Appliquer le théorème de Pythagore

Puisque nous voulons que \(ABD\) soit rectangle en \(D\), nous avons : \[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \] Nous connaissons \(BD = 4\,\mathrm{cm}\). Donc : \[ AB^2 = AD^2 + 4^2 \] \[ AB^2 = AD^2 + 16 \] Cela implique que la longueur \(AD\) doit être telle que : \[ AD = \sqrt{AB^2 - 16} \] Assurez-vous que \(AB > 4\,\mathrm{cm}\) pour que \(AD\) soit une longueur réelle.

Étape 4 : Localiser le point \(D\)

Pour que \(BD = 4\,\mathrm{cm}\) et que \(D\) forme un angle droit avec \(AB\), le point \(D\) doit se trouver à une distance de \(4\,\mathrm{cm}\) de \(B\) et sur une ligne perpendiculaire à \(AB\) passant par \(D\).

Méthode géométrique :

1. Tracer le cercle de rayon 4 cm centré en \(B\) :
   • Tout point \(D\) sur ce cercle satisfait \(BD = 4\,\mathrm{cm}\).
2. Tracer la médiatrice de \(AB\) ou la ligne perpendiculaire souhaitée :
   • Cette ligne doit être perpendiculaire à \(AB\) en un certain point \(D\).
3. Identifier les points d’intersection :
   • Les points où la médiatrice coupe le cercle sont les positions possibles pour \(D\).

Résultat :

Il y aura généralement deux positions possibles pour le point \(D\), une de chaque côté de la droite \(AB\), formant ainsi deux triangles rectangles distincts en \(D\).

Schéma illustratif

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Dans ce schéma : - Les points rouges représentent les deux positions possibles de \(D\). - Les lignes en pointillés montrent les côtés \(AD\) et \(BD\). - Le triangle \(ABD\) est rectangle en \(D\).

Conclusion

Le point \(D\) se trouve à une distance de \(4\,\mathrm{cm}\) de \(B\) sur la droite perpendiculaire à \(AB\). Il y a généralement deux solutions possibles, une de chaque côté de \(AB\), permettant de former un triangle \(ABD\) rectangle en \(D\) avec \(BD = 4\,\mathrm{cm}\).