Calculer l’aire d’un carré, sachant que sa diagonale mesure \(15\) cm.
L’aire du carré est de 112,5 cm².
Soit un carré dont la diagonale mesure 15 cm. Pour trouver son aire, nous devons d’abord déterminer la longueur d’un côté du carré.
Étape 1 : Relier la diagonale et un côté
Dans un carré, la diagonale et les côtés forment un triangle rectangle
isocèle. D’après le théorème de Pythagore, on sait que si s est la
longueur d’un côté, alors la diagonale d et le côté s sont reliés par la
relation suivante :
d = s × √2
Étape 2 : Exprimer le côté en fonction de la diagonale
Isolez s dans l’équation précédente :
s = d / √2
Ici, d = 15 cm, donc :
s = 15 / √2
Pour simplifier l’expression, on peut rationaliser le dénominateur
:
s = (15 / √2) × (√2 / √2) = (15√2) / 2
Étape 3 : Calculer l’aire du carré
L’aire A d’un carré est donnée par la formule :
A = s²
En remplaçant s par (15√2) / 2, nous avons :
A = [(15√2) / 2]² = (15² × (√2)²) / (2²)
Calculons chaque partie :
15² = 225
(√2)² = 2
2² = 4
Ainsi :
A = (225 × 2) / 4 = 450 / 4
Pour simplifier cette fraction, divisons le numérateur et le
dénominateur par 2 :
A = 225 / 2 = 112,5
Conclusion :
L’aire du carré est donc de 112,5 cm².