Exercices corrigés - Théorème de Pythagore - 11e
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Exercice 1
Difficulté : 20/100
Calculer l’aire d’un carré, sachant que sa diagonale mesure \(15\) cm.
Exercice 2
Difficulté : 10/100
Le côté d’un carré mesure \(c\). Combien mesure sa diagonale?
Exercice 3
Difficulté : 30/100
Question : Où se trouve le point \(D\) afin que le triangle \(ABD\) soit rectangle en \(D\) et que \(BD = 4\,\mathrm{cm}\) ?
Exercice 4
Difficulté : 30/100
Question : Léa et Maxime ont mesuré la diagonale d’un cube dont l’arête mesure 12 cm. Léa a obtenu \(20{,}8 \, \text{cm}\) et Maxime \(20{,}7 \, \text{cm}\).
Qui a raison ?
Exercice 5
Difficulté : 40/100
Soit un triangle rectangle. Un côté de l’angle droit mesure 8 cm et l’autre mesure les trois cinquièmes de l’hypoténuse. Calculer la longueur de l’hypoténuse.
Exercice 6
Difficulté : 40/100
Trouvez les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle, sachant que l’hypoténuse est 4 cm plus longue qu’un des côtés de l’angle droit et que ce côté est lui-même 4 cm plus long que l’autre côté de l’angle droit.
Exercice 7
Difficulté : 15/100
Un rectangle a des côtés de \(12\,\text{cm}\) et \(9\,\text{cm}\). Calculez le rapport de la longueur de sa diagonale à celle de chacun de ses côtés.
Exercice 8
Difficulté : 20/100
Un carré a une aire de \(1{,}44\, \mathrm{m}^2\). Calculer la longueur de sa diagonale.
Exercice 9
Difficulté : 50/100
Le côté d’un losange mesure 37 cm et l’une de ses diagonales mesure 24 cm. Ce losange est-il un carré ?
Le côté d’un losange mesure 17 cm et l’une de ses diagonales mesure 24 cm. Ce losange est-il un carré ?
Exercice 10
Difficulté : 10/100
Calculer la hauteur d’un triangle équilatéral dont le côté mesure \(c\).
Exercice 11
Difficulté : 50/100
Question : Un architecte recommande que l’angle entre le sol et le toit d’une véranda soit compris entre \(60^{\circ}\) et \(70^{\circ}\) afin d’assurer une bonne évacuation de l’eau de pluie. On installe une véranda avec une poutre de 10 m de long, de façon que la base de la poutre soit située à 4 m de la base du mur.
Dessine un schéma représentant la situation.
Calcule la hauteur du toit de la véranda. Arrondis le résultat au mètre près.
Cette installation respecte-t-elle la recommandation de l’architecte ?
Exercice 12
Difficulté : 40/100
Question :
a) Construis un triangle \(ABC\) dont les côtés mesurent :
- \(AB = 7\ \text{cm}\),
- \(AC = 5\ \text{cm}\),
- \(BC = 9\ \text{cm}\).
À vue d’œil, ce triangle est-il rectangle ?
- Vérifie ta réponse en utilisant le théorème de Pythagore.
Exercice 13
Difficulté : 30/100
Question :
- Le triangle \(ABC\), rectangle en \(B\), est tel que \(AB = 5\,\text{cm}\) et \(AC = 13\,\text{cm}\).
Quelle est la mesure du côté \(BC\) ?
- Les dimensions d’un rectangle sont de 9 cm et de 40 cm.
Quelle est la distance entre un sommet et la diagonale qui ne passe pas par ce sommet ?
Exercice 14
Difficulté : 60/100
Question : Voici les dimensions de plusieurs cartons, tous ayant la forme d’un parallélépipède rectangle.
Dans lequel pourrez-vous placer la planche la plus longue, sans la plier ?
| Carton | Dimensions (dm) |
|---|---|
| A | \(4\), \(2.5\), \(3\) |
| B | \(5\), \(2\), \(2.5\) |
| C | \(3.5\), \(2\), \(1.5\) |
| D | \(2.5\), \(3\), \(4.5\) |
| E | \(5.5\), \(1.5\), \(2\) |
| F | \(\sqrt{5}\), \(2\sqrt{2}\), \(3\sqrt{1.5}\) |
Exercice 15
Difficulté : 50/100
ABC est un triangle rectangle en \(A\). On a construit un demi-cercle sur chacun de ses côtés pris comme diamètre. On a ombré les croissants compris entre le grand demi-cercle et les deux autres. Calculer l’aire de la figure ombrée, sachant que
\[ \overline{AB} = 7 \quad \text{et} \quad \overline{AC} = 24. \]
Exercice 16
Difficulté : 25/100
Soit un carré de côté \(c\).
Exprimez, par un nombre exact, le rapport entre la longueur de la diagonale du carré et la longueur de son côté.
Quelle est la longueur de la diagonale d’un carré dont le côté mesure 10 cm ?
Exercice 17
Difficulté : 50/100
Dans le triangle \(ABC\), rectangle en \(A\),
\[ \overline{AH} = 8 \quad \text{et} \quad \overline{AO} = 17. \]
Calculer les longueurs des côtés du triangle \(ABC\).
Exercice 18
Difficulté : 30/100
Dans un triangle rectangle, les côtés de l’angle droit mesurent \(3\ \text{cm}\) et \(4\ \text{cm}\). Un autre triangle rectangle, semblable au précédent, a une hypoténuse qui mesure \(35\ \text{cm}\). Calculer l’aire du second triangle.
Exercice 19
Difficulté : 40/100
\[ BC \perp AB \quad \text{et} \quad ED \perp AC \] \[ \overline{AB} = 8, \quad \overline{BC} = 6, \quad \overline{EC} = 8 \] Calculer \(\overline{AD}\) et \(\overline{ED}\).
Exercice 20
Difficulté : 50/100
Question : Un étang carré de \(12\) mètres de côté contient un roseau au centre. Le roseau s’élève, depuis le fond, à \(2\) mètres au-dessus du niveau de l’eau. Si l’on tire le roseau vers le milieu d’un des côtés, il atteint exactement le bord de l’étang.
Quelle est la profondeur de l’eau ?
Exercice 21
Difficulté : 20/100
Question : Pour les trois triangles rectangles suivants, calcule la mesure du côté manquant.
Triangle \(JKL\), rectangle en \(K\), avec \(JK = 7\,\mathrm{cm}\) et \(KL = 24\,\mathrm{cm}\).
Triangle \(MNO\), rectangle en \(O\), avec \(MN = 5\,\mathrm{m}\) et \(MO = 13\,\mathrm{m}\).
Triangle \(PQR\), rectangle en \(R\), avec \(PQ = 1,2\,\mathrm{dam}\) et \(QR = 2,5\,\mathrm{dam}\).
Exercice 22
Difficulté : 20/100
Question : Un arbre frange est planté de manière à ce que sa cime atteigne un point situé à 3 m au-dessus du sol. La base de l’arbre se trouve à une distance horizontale de \(2{,}00\,\mathrm{m}\) de la maison. Quelle est la longueur de l’arbre frange ?
Exercice 23
Difficulté : 25/100
Question : Une armoire a la forme d’un pavé droit dont les dimensions sont \(48 \mathrm{~cm} \times 90 \mathrm{~cm} \times 40 \mathrm{~cm}\). À l’intérieur, un câble est tendu d’un coin à l’autre.
Quelle peut être la longueur maximale de ce câble ?
Exercice 24
Difficulté : 30/100
Question : Un écran au format \(4:3\) a une largeur égale aux quatre tiers de sa hauteur.
Quelle est la longueur de la diagonale de l’écran si la hauteur est de \(360\,\text{mm}\) ?
Exercice 25
Difficulté : 25/100
L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure \(10\) cm. Un côté de l’angle droit mesure les trois quarts de l’autre. Calculer la longueur des côtés de l’angle droit.
Exercice 26
Difficulté : 35/100
\(\overline{AB} = 65\)
\(\overline{AH} = 60\)
Calculez \(\overline{BH}\), \(\overline{CH}\), \(\overline{BC}\), \(\overline{AC}\).
Exercice 27
Difficulté : 30/100
Question: \[ DEF \text{ est un triangle rectangle en } F. \] Dans chacun des cas suivants, calcule la longueur du côté manquant.
Cas 1 : \(DF = 12\ \text{cm}\) et \(EF = 5\ \text{cm}\).
Cas 2 : \(DE = 3,4\ \text{m}\) et \(EF = 15\ \text{dm}\).
Cas 3 : \(DE = 10,2\ \text{cm}\) et \(DF = 47\ \text{mm}\).
Exercice 28
Difficulté : 40/100
Calculer les dimensions d’un rectangle, sachant que sa diagonale mesure 30 dm et que sa largeur est égale aux \(\frac{3}{4}\) de sa longueur.
Exercice 29
Difficulté : 40/100
Dans un triangle rectangle en \(A\), la hauteur issue du sommet \(A\) coupe le côté \([BC]\) en \(H\). Sachant que \(\overline{AB} = 65 \, \text{cm}\) et \(\overline{AH} = 60 \, \text{cm}\), calculez le périmètre du triangle \(ABC\).
Exercice 30
Difficulté : 42/100
Question : Les trois arcs de cercle \(\overparen{AB}\), \(\widehat{AC}\) et \(\overparen{BC}\) sont des demi-cercles.
Calcule la somme des aires des deux lunules et compare-la à l’aire du triangle \(ABC\).
Le résultat obtenu en a) est-il valable pour tout triangle rectangle de départ ?
Exercice 31
Difficulté : 40/100
Question : Claire se tient au sommet d’un immeuble à une altitude de \(h = 200\) mètres au-dessus du niveau de la mer. Quelle est la distance maximale \(d\) à laquelle elle peut voir l’horizon ?