Exercice
Traduisez chacune de ces situations en un système de deux équations et déterminez ses solutions.
La somme de deux nombres est 75 et leur différence est 25. Quels sont ces nombres ?
Dans une librairie, on observe les échanges suivants au milieu de la journée :
Réponses :
Les nombres sont 50 et 25.
Un cahier coûte 3,14 € et un stylo 1,12 €.
160 spectateurs au rez-de-chaussée et 320 en balcon.
Énoncé :
La somme de deux nombres est 75 et leur différence est 25. Quels sont
ces nombres ?
Correction :
Désignons les deux nombres par \(x\) et \(y\).
Nous avons deux informations : 1. La somme des deux nombres est 75 : \[ x + y = 75 \] 2. Leur différence est 25 : \[ x - y = 25 \]
Nous avons donc le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} x + y = 75 \\ x - y = 25 \end{cases} \]
Étape 1 : Additionner les deux équations
En ajoutant les deux équations, \(y\) s’annule : \[ (x + y) + (x - y) = 75 + 25 \\ 2x = 100 \]
Étape 2 : Résoudre pour \(x\) \[ 2x = 100 \\ x = \frac{100}{2} \\ x = 50 \]
Étape 3 : Trouver la valeur de \(y\)
Utilisons la première équation pour trouver \(y\) : \[ x + y = 75 \\ 50 + y = 75 \\ y = 75 - 50 \\ y = 25 \]
Conclusion :
Les deux nombres sont 50 et 25.
Énoncé :
Dans une librairie, on observe les échanges suivants au milieu de la
journée : - « Quatre cahiers et deux stylos coûtent 14,80 €. » - « Deux
cahiers et cinq stylos coûtent 11,90 €. »
Déterminez le prix d’un cahier et celui d’un stylo.
Correction :
Désignons : - \(C\) : prix d’un cahier (en euros) - \(S\) : prix d’un stylo (en euros)
Nous avons deux situations : 1. Quatre cahiers et deux stylos coûtent 14,80 € : \[ 4C + 2S = 14,80 \] 2. Deux cahiers et cinq stylos coûtent 11,90 € : \[ 2C + 5S = 11,90 \]
Le système d’équations est donc : \[ \begin{cases} 4C + 2S = 14,80 \\ 2C + 5S = 11,90 \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier la première équation
Divisons la première équation par 2 pour simplifier : \[ \frac{4C + 2S}{2} = \frac{14,80}{2} \\ 2C + S = 7,40 \quad \text{(Équation 1)} \]
Étape 2 : Utiliser la méthode de substitution
De l’Équation 1 : \[ 2C + S = 7,40 \\ S = 7,40 - 2C \]
Étape 3 : Substituer \(S\) dans la deuxième équation
Remplaçons \(S\) dans la deuxième équation : \[ 2C + 5S = 11,90 \\ 2C + 5(7,40 - 2C) = 11,90 \\ 2C + 37,00 - 10C = 11,90 \\ -8C + 37,00 = 11,90 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(C\) \[ -8C = 11,90 - 37,00 \\ -8C = -25,10 \\ C = \frac{-25,10}{-8} \\ C = 3,1375 \]
Arrondissons au centime près : \[ C = 3,14 \,€ \quad \text{(prix d’un cahier)} \]
Étape 5 : Trouver la valeur de \(S\)
Utilisons l’expression de \(S\) trouvée précédemment : \[ S = 7,40 - 2C \\ S = 7,40 - 2 \times 3,14 \\ S = 7,40 - 6,28 \\ S = 1,12 \,€ \]
Conclusion :
Le prix d’un cahier est 3,14 € et celui d’un stylo est
1,12 €.
Énoncé :
Une salle de cinéma a accueilli 480 spectateurs. Les places au
rez-de-chaussée sont à 12 € et celles en balcon à 18 €. Le montant total
des recettes est de 7 680 €. Combien de spectateurs étaient au
rez-de-chaussée et combien en balcon ?
Correction :
Désignons : - \(R\) : nombre de spectateurs au rez-de-chaussée - \(B\) : nombre de spectateurs en balcon
Nous avons deux informations : 1. Le nombre total de spectateurs : \[ R + B = 480 \] 2. Le montant total des recettes : \[ 12R + 18B = 7680 \]
Le système d’équations est donc : \[ \begin{cases} R + B = 480 \\ 12R + 18B = 7680 \end{cases} \]
Étape 1 : Simplifier la deuxième équation
Divisons la deuxième équation par 6 pour simplifier : \[ \frac{12R + 18B}{6} = \frac{7680}{6} \\ 2R + 3B = 1280 \quad \text{(Équation 2)} \]
Étape 2 : Utiliser la méthode de substitution
De la première équation : \[ R + B = 480 \\ R = 480 - B \]
Étape 3 : Substituer \(R\) dans l’Équation 2
Remplaçons \(R\) dans l’Équation 2 : \[ 2R + 3B = 1280 \\ 2(480 - B) + 3B = 1280 \\ 960 - 2B + 3B = 1280 \\ 960 + B = 1280 \]
Étape 4 : Résoudre pour \(B\) \[ B = 1280 - 960 \\ B = 320 \]
Étape 5 : Trouver la valeur de \(R\)
Utilisons l’expression de \(R\) trouvée précédemment : \[ R = 480 - B \\ R = 480 - 320 \\ R = 160 \]
Conclusion :
Il y avait 160 spectateurs au rez-de-chaussée et
320 spectateurs en balcon.