Exercice 115

Résoudre les systèmes d’inéquations suivants :

1. \[ \begin{cases} 2x - 3 \leq \dfrac{3x}{4} \\ \dfrac{5x - 1}{3} \geq \dfrac{1}{3} + 2x \end{cases} \]

2. \[ \begin{cases} 2x - \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{4x - 3}{3} \\ \dfrac{5x + 4}{5} \geq \dfrac{6x + 5}{10} \end{cases} \]

3. \[ \begin{cases} \dfrac{7x - 2}{4} + \dfrac{5x - 1}{2} \geq \dfrac{12x + 3}{8} \\ \dfrac{3x + 4}{6} - \dfrac{1}{3} \geq \dfrac{5x - 2}{2} \end{cases} \]

4. \[ \begin{cases} 2 \cdot (3x - 4) + 5x \leq 3 \cdot (5x - 10) + 7x \\ 3x - 2 \cdot (5x - 4) \geq 3x - (-2x + 4) \end{cases} \]

5. \[ \dfrac{7x - 4}{4} - \dfrac{2x - 3}{8} \leq \dfrac{5x - 1}{4} \leq \dfrac{2x - 4}{8} - \dfrac{1}{4} \]

6. \[ \begin{cases} \dfrac{2x - 3}{7} - \dfrac{5x - 2}{14} \geq \dfrac{5x - 6}{7} - 1 \\ \dfrac{4x - 1}{11} - \dfrac{2x + 2}{22} < \dfrac{7x - 6}{11} \end{cases} \]

Réponse

Synthèse des solutions : 1) Système 1 : x ≤ –2
2) Système 2 : x = –3/4
3) Système 3 : ½ ≤ x ≤ 2/3
4) Système 4 : Pas de solution
5) Système 5 : x ≤ –½
6) Système 6 : 1 < x ≤ 2

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacun des systèmes d’inéquations.

──────────────────────────── Système 1 :     { 2x – 3 ≤ (3x)/4
      (5x – 1)/3 ≥ 1/3 + 2x }

1. Première inéquation : 2x – 3 ≤ (3x)/4
    a) Pour éliminer la fraction, multiplions chaque membre par 4 (nombre positif, l’inégalité reste dans le même sens) :
     4 × (2x – 3) ≤ 4 × (3x/4)
     ⟹ 8x – 12 ≤ 3x
    b) Isolons x :
     8x – 3x ≤ 12
     ⟹ 5x ≤ 12
     ⟹ x ≤ 12/5

2. Deuxième inéquation : (5x – 1)/3 ≥ 1/3 + 2x
    a) Multiplions chaque membre par 3 (pour simplifier, puisque 3 est positif) :
     5x – 1 ≥ 1 + 6x
    b) Regroupons les termes en x :
     5x – 1 – 6x ≥ 1
     ⟹ –x – 1 ≥ 1
     ⟹ –x ≥ 2
    c) En multipliant par –1 (attention : le sens de l’inégalité s’inverse) :
     x ≤ –2

3. Intersection des solutions
    La première inéquation donne x ≤ 12/5 et la deuxième x ≤ –2.
    Pour que x vérifie les deux conditions, il faut que x soit inférieur ou égal à –2 (car –2 est bien inférieur à 12/5).
    Donc, la solution du système est : x ≤ –2.

──────────────────────────── Système 2 :     { 2x – 1/2 ≤ (4x – 3)/3
      (5x + 4)/5 ≥ (6x + 5)/10 }

1. Première inéquation : 2x – 1/2 ≤ (4x – 3)/3
    a) Cherchons un dénominateur commun pour se débarrasser des fractions. Le plus petit commun multiple de 2 et 3 est 6.
     Multiplions chaque terme par 6 :
     6 × 2x – 6 × (1/2) ≤ 6 × [(4x – 3)/3]
     ⟹ 12x – 3 ≤ 2 × (4x – 3)
     ⟹ 12x – 3 ≤ 8x – 6
    b) Regroupons les termes en x :
     12x – 8x ≤ –6 + 3
     ⟹ 4x ≤ –3
     ⟹ x ≤ –3/4

2. Deuxième inéquation : (5x + 4)/5 ≥ (6x + 5)/10
    a) Le dénominateur commun des deux fractions est 10.
     Multiplions chaque côté par 10 :
     10 × [(5x + 4)/5] ≥ 10 × [(6x + 5)/10]
     ⟹ 2 × (5x + 4) ≥ 6x + 5
     ⟹ 10x + 8 ≥ 6x + 5
    b) Isolons x :
     10x – 6x ≥ 5 – 8
     ⟹ 4x ≥ –3
     ⟹ x ≥ –3/4

3. Intersection des solutions
    La première inéquation nous donne x ≤ –3/4 et la deuxième x ≥ –3/4.
    L’unique valeur qui satisfait ces deux inégalités est x = –3/4.

──────────────────────────── Système 3 :     { (7x – 2)/4 + (5x – 1)/2 ≥ (12x + 3)/8
      (3x + 4)/6 – 1/3 ≥ (5x – 2)/2 }

1. Première inéquation : (7x – 2)/4 + (5x – 1)/2 ≥ (12x + 3)/8
    a) Mise sur le même dénominateur. Observe que 4 = 8/2 et 2 = 8/4, donc exprimons chaque fraction sur 8 :
     (7x – 2)/4 = (2(7x – 2))/8 = (14x – 4)/8
     (5x – 1)/2 = (4(5x – 1))/8 = (20x – 4)/8
     La somme devient : (14x – 4 + 20x – 4)/8 = (34x – 8)/8
    b) L’inéquation se traduit alors par :
     (34x – 8)/8 ≥ (12x + 3)/8
    c) On peut multiplier chaque côté par 8 (positif) :
     34x – 8 ≥ 12x + 3
    d) Isolons x :
     34x – 12x ≥ 3 + 8
     ⟹ 22x ≥ 11
     ⟹ x ≥ 11/22, c’est-à-dire x ≥ 1/2

2. Deuxième inéquation : (3x + 4)/6 – 1/3 ≥ (5x – 2)/2
    a) Pour simplifier, exprimons toutes les fractions sur le dénominateur 6 :
     1/3 = 2/6 et (5x – 2)/2 = (3(5x – 2))/6 = (15x – 6)/6
     L’inéquation devient :
     [(3x + 4) – 2] / 6 ≥ (15x – 6)/6
     ⟹ (3x + 2)/6 ≥ (15x – 6)/6
    b) En multipliant par 6 (positif) :
     3x + 2 ≥ 15x – 6
    c) Regroupons les termes :
     3x – 15x ≥ –6 – 2
     ⟹ –12x ≥ –8
    d) Divisons par –12 (en changeant le sens de l’inégalité) :
     x ≤ (–8)/(–12) = 8/12 = 2/3

3. Intersection
    La première inéquation impose : x ≥ 1/2
    La deuxième impose : x ≤ 2/3
    L’ensemble solution est donc : 1/2 ≤ x ≤ 2/3

──────────────────────────── Système 4 :     { 2 · (3x – 4) + 5x ≤ 3 · (5x – 10) + 7x
      3x – 2 · (5x – 4) ≥ 3x – (–2x + 4) }

1. Première inéquation : 2 · (3x – 4) + 5x ≤ 3 · (5x – 10) + 7x
    a) Développons chaque côté :
     Côté gauche : 2 · (3x – 4) = 6x – 8
     Ajoutons 5x : 6x – 8 + 5x = 11x – 8
     Côté droit : 3 · (5x – 10) = 15x – 30
     Ajoutons 7x : 15x – 30 + 7x = 22x – 30
    b) L’inéquation devient :
     11x – 8 ≤ 22x – 30
    c) Isolons x :
     11x – 22x ≤ –30 + 8
     ⟹ –11x ≤ –22
     Pour inverser l’inégalité, multiplions par –1 (en changeant le sens) :
     x ≥ 2

2. Deuxième inéquation : 3x – 2 · (5x – 4) ≥ 3x – (–2x + 4)
    a) Développons chaque côté :
     Côté gauche :
     3x – 2 · (5x – 4) = 3x – 10x + 8 = –7x + 8
     Côté droit :
     3x – (–2x + 4) = 3x + 2x – 4 = 5x – 4
    b) L’inéquation devient :
     –7x + 8 ≥ 5x – 4
    c) Regroupons les termes en x :
     –7x – 5x ≥ –4 – 8
     ⟹ –12x ≥ –12
    d) Divisons par –12 (en inversant l’inégalité) :
     x ≤ 1

3. Intersection
    La première inéquation impose x ≥ 2 et la seconde x ≤ 1.
    Il n’existe aucun nombre x pouvant être simultanément supérieur ou égal à 2 et inférieur ou égal à 1.
    Donc, le système n’a pas de solution.

──────────────────────────── Système 5 :     (7x – 4)/4 – (2x – 3)/8 ≤ (5x – 1)/4 ≤ (2x – 4)/8 – 1/4

Ici, nous avons une inégalité composée que nous allons décomposer en deux inégalités :

1. (7x – 4)/4 – (2x – 3)/8 ≤ (5x – 1)/4
   
2. (5x – 1)/4 ≤ (2x – 4)/8 – 1/4

Traitons chacune séparément.

1. Inégalité (A)
    a) Pour mettre sur le même dénominateur, on écrit (7x – 4)/4 sous dénominateur 8 :
     (7x – 4)/4 = (2(7x – 4))/8 = (14x – 8)/8
    b) Ainsi, (A) devient :
     [ (14x – 8) – (2x – 3) ]/8 ≤ (5x – 1)/4
     Calculons le numérateur : 14x – 8 – 2x + 3 = 12x – 5
     Donc, inégalité : (12x – 5)/8 ≤ (5x – 1)/4
    c) Écrivons (5x – 1)/4 avec dénominateur 8 :
     (5x – 1)/4 = (2(5x – 1))/8 = (10x – 2)/8
    d) On a ainsi :
     (12x – 5)/8 ≤ (10x – 2)/8
    e) Comme 8 est positif, on peut multiplier par 8 :
     12x – 5 ≤ 10x – 2
    f) Isolons x :
     12x – 10x ≤ –2 + 5
     ⟹ 2x ≤ 3
     ⟹ x ≤ 3/2

2. Inégalité (B)
    a) On écrit (2x – 4)/8 – 1/4 sous un dénominateur commun.
     1/4 = 2/8 donc, (2x – 4)/8 – 2/8 = (2x – 4 – 2)/8 = (2x – 6)/8
    b) Simplifions en factorisant le 2 :
     (2x – 6)/8 = 2(x – 3)/8 = (x – 3)/4
    c) L’inégalité (B) est alors :
     (5x – 1)/4 ≤ (x – 3)/4
    d) Comme les deux membres sont sur le même dénominateur (4), on a :
     5x – 1 ≤ x – 3
    e) Isolons x :
     5x – x ≤ –3 + 1
     ⟹ 4x ≤ –2
     ⟹ x ≤ –1/2

3. Intersection
    Pour que l’inégalité composée soit satisfaite, il faut que x vérifie à la fois
     x ≤ 3/2 et x ≤ –1/2
    Cela signifie que x doit être inférieur ou égal à –1/2 puisque –1/2 est plus restrictif.
    Donc, solution du système : x ≤ –1/2

──────────────────────────── Système 6 :     { (2x – 3)/7 – (5x – 2)/14 ≥ (5x – 6)/7 – 1
      (4x – 1)/11 – (2x + 2)/22 < (7x – 6)/11 }

1. Première inéquation : (2x – 3)/7 – (5x – 2)/14 ≥ (5x – 6)/7 – 1
    a) Pour simplifier le côté gauche, mettons au même dénominateur. Le dénominateur commun de 7 et 14 est 14 :
     (2x – 3)/7 = 2(2x – 3)/14 = (4x – 6)/14
     Ainsi, on a : (4x – 6)/14 – (5x – 2)/14 = [4x – 6 – 5x + 2] /14 = (–x – 4)/14
    b) L’inéquation devient :
     (–x – 4)/14 ≥ (5x – 6)/7 – 1
    c) Exprimons le côté droit avec le dénominateur 7 :
     1 = 7/7, ainsi : (5x – 6)/7 – 1 = (5x – 6 – 7)/7 = (5x – 13)/7
    d) Pour éliminer les dénominateurs, multiplions toute l’inéquation par 14 (positif) :
     –x – 4 ≥ 14 × [(5x – 13)/7]
     Or, 14/7 = 2, donc : –x – 4 ≥ 2(5x – 13) = 10x – 26
    e) Isolons x :
     –x – 4 ≥ 10x – 26
     Ajoutons x des deux côtés : –4 ≥ 11x – 26
     Ajoutons 26 : 22 ≥ 11x
     Divisons par 11 : x ≤ 22/11, c’est-à-dire x ≤ 2

2. Deuxième inéquation : (4x – 1)/11 – (2x + 2)/22 < (7x – 6)/11
    a) Mettons le côté gauche au même dénominateur. Le dénominateur commun de 11 et 22 est 22 :
     (4x – 1)/11 = 2(4x – 1)/22 = (8x – 2)/22
     Ainsi, (8x – 2)/22 – (2x + 2)/22 = (8x – 2 – 2x – 2)/22 = (6x – 4)/22
    b) Simplifions en factorisant 2 :
     (6x – 4)/22 = 2(3x – 2)/22 = (3x – 2)/11
    c) L’inéquation devient :
     (3x – 2)/11 < (7x – 6)/11
    d) Comme les deux membres ont le même dénominateur, on peut écrire :
     3x – 2 < 7x – 6
    e) Isolons x :
     3x – 7x < –6 + 2
     ⟹ –4x < –4
     Divisons par –4 (en changeant le sens de l’inégalité) :
     x > 1

3. Intersection
    Les conditions obtenues sont :
     x ≤ 2 et x > 1
    Ainsi, la solution est l’intervalle : 1 < x ≤ 2

──────────────────────────── Récapitulatif des solutions :

1. Système 1 : x ≤ –2
   
2. Système 2 : x = –3/4
   
3. Système 3 : 1/2 ≤ x ≤ 2/3
   
4. Système 4 : aucun x ne satisfait le système
   
5. Système 5 : x ≤ –1/2
   
6. Système 6 : 1 < x ≤ 2

Chaque étape a été détaillée afin de vous permettre de suivre la démarche.