Question : La tirelire de la classe contient exactement \(\text{Fr. }80\), en pièces de \(\text{Fr. }3\) et de \(\text{Fr. }7\).
Le trésorier compte les pièces et en trouve 25.
Un autre élève les recompte et en trouve 24.
Qui s’est trompé ?
Le trésorier s’est trompé car 25 pièces ne totalisent pas 80 CHF. L’autre élève a correctement compté 24 pièces pour atteindre 80 CHF.
Correction détaillée :
Pour déterminer qui s’est trompé entre le trésorier et l’autre élève, analysons la situation étape par étape.
Données du problème : - Montant total dans la tirelire : \(\text{Fr. }80\) - Types de pièces : \(\text{Fr. }3\) et \(\text{Fr. }7\) - Nombre de pièces comptées : - Trésorier : 25 pièces - Autre élève : 24 pièces
Nous allons vérifier si le nombre de pièces compté par chacun permet d’atteindre le montant total de \(\text{Fr. }80\).
Étape 1 : Définir les variables
Étape 2 : Établir les équations
Le montant total s’exprime par : \[ 3x + 7y = 80 \]
Le nombre total de pièces comptées par le trésorier et l’autre élève donne deux scénarios distincts.
Cas 1 : Trésorier a compté 25 pièces \[ x + y = 25 \]
Nous avons donc le système d’équations : \[ \begin{cases} 3x + 7y = 80 \\ x + y = 25 \end{cases} \]
Résolution du système :
À partir de la deuxième équation : \[ x = 25 - y \]
Substituons \(x\) dans la première équation : \[ 3(25 - y) + 7y = 80 \] \[ 75 - 3y + 7y = 80 \] \[ 75 + 4y = 80 \] \[ 4y = 80 - 75 \] \[ 4y = 5 \] \[ y = \frac{5}{4} \]
Cependant, \(y\) représente le nombre de pièces, qui doit être un entier. Ici, \(y = 1,25\), ce qui n’est pas possible. Donc, il n’existe pas de solution entière pour ce cas. Le trésorier s’est donc trompé.
Cas 2 : L’autre élève a compté 24 pièces \[ x + y = 24 \]
Le système d’équations devient : \[ \begin{cases} 3x + 7y = 80 \\ x + y = 24 \end{cases} \]
Résolution du système :
De la deuxième équation : \[ x = 24 - y \]
Substituons \(x\) dans la première équation : \[ 3(24 - y) + 7y = 80 \] \[ 72 - 3y + 7y = 80 \] \[ 72 + 4y = 80 \] \[ 4y = 80 - 72 \] \[ 4y = 8 \] \[ y = 2 \]
Ensuite, trouvons \(x\) : \[ x = 24 - y = 24 - 2 = 22 \]
Vérification : \[ 3x + 7y = 3(22) + 7(2) = 66 + 14 = 80 \]
Le montant total correspond bien à \(\text{Fr. }80\) avec \(x = 22\) pièces de \(\text{Fr. }3\) et \(y = 2\) pièces de \(\text{Fr. }7\).
Conclusion : - Le trésorier s’est trompé car il a compté 25 pièces, ce qui ne permet pas d’atteindre le montant total de \(\text{Fr. }80\) avec les valeurs des pièces disponibles. - L’autre élève a correctement compté 24 pièces, permettant d’obtenir le montant exact de \(\text{Fr. }80\).