Exercice 113

Trouver des nombres \(x\), \(y\) et \(z\) qui satisfont les trois conditions suivantes :

1. \(x \cdot y = \dfrac{2}{3} x\)
2. \(\dfrac{2}{3} x = \dfrac{1}{3} z\)
3. \(\dfrac{3}{2} y - z + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} z\).

Réponse

Les solutions sont \(x = \frac{1}{2}\), \(y = \frac{2}{3}\) et \(z = 1\).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous cherchons des nombres \(x\), \(y\) et \(z\) qui satisfont les trois conditions suivantes :

1. \(x \cdot y = \dfrac{2}{3} x\)
2. \(\dfrac{2}{3} x = \dfrac{1}{3} z\)
3. \(\dfrac{3}{2} y - z + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} z\)

Nous allons résoudre ce système d’équations étape par étape.

Étape 1 : Résoudre la première équation pour \(y\)

La première équation est : \[ x \cdot y = \dfrac{2}{3} x \]

Supposons que \(x \neq 0\). Nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par \(x\) : \[ y = \dfrac{\dfrac{2}{3} x}{x} = \dfrac{2}{3} \]

Ainsi, nous avons trouvé : \[ y = \dfrac{2}{3} \]

Étape 2 : Exprimer \(z\) en fonction de \(x\) à partir de la deuxième équation

La deuxième équation est : \[ \dfrac{2}{3} x = \dfrac{1}{3} z \]

Pour isoler \(z\), multiplions les deux côtés par 3 : \[ 2x = z \]

Nous obtenons donc : \[ z = 2x \]

Étape 3 : Utiliser la troisième équation pour trouver \(x\)

La troisième équation est : \[ \dfrac{3}{2} y - z + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} z \]

Remplaçons \(y\) par \(\dfrac{2}{3}\) et \(z\) par \(2x\) : \[ \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{2}{3} - 2x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot 2x \]

Simplifions chaque terme : \[ 1 - 2x + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} x \]

Regroupons les termes constants et les termes en \(x\) : \[ 1 + \dfrac{1}{3} - 2x = \dfrac{2}{3} x \]

Convertissons \(1\) en fractions sur 3 : \[ \dfrac{3}{3} + \dfrac{1}{3} - 2x = \dfrac{2}{3} x \] \[ \dfrac{4}{3} - 2x = \dfrac{2}{3} x \]

Ajoutons \(2x\) des deux côtés pour regrouper les termes en \(x\) : \[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} x + 2x \]

Convertissons \(2x\) en fractions sur 3 : \[ 2x = \dfrac{6}{3} x \] \[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} x + \dfrac{6}{3} x \] \[ \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3} x \]

Pour isoler \(x\), multiplions les deux côtés par \(\dfrac{3}{8}\) : \[ x = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{12}{24} = \dfrac{1}{2} \]

Ainsi, nous avons trouvé : \[ x = \dfrac{1}{2} \]

Étape 4 : Trouver \(z\) en utilisant la valeur de \(x\)

Nous avions établi que : \[ z = 2x \]

En remplaçant \(x\) par \(\dfrac{1}{2}\) : \[ z = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1 \]

Conclusion

Les nombres qui satisfont les trois conditions sont : \[ x = \dfrac{1}{2}, \quad y = \dfrac{2}{3}, \quad z = 1 \]