Exercice 112

Déterminez un nombre à six chiffres sachant que :

• Il reste identique lorsqu’on le lit à l’envers,
• La somme de ses chiffres est égale à 18,
• Le chiffre des dizaines est le double du chiffre des milliers,
• La somme du nombre formé par les deux derniers chiffres et de celui formé par les deux premiers chiffres est de 77.

Réponse

Le nombre recherché est 342243.

Corrigé détaillé

Correction détaillée de l’exercice

Énoncé :
Déterminez un nombre à six chiffres sachant que :

• Il reste identique lorsqu’on le lit à l’envers,
• La somme de ses chiffres est égale à 18,
• Le chiffre des dizaines est le double du chiffre des milliers,
• La somme du nombre formé par les deux derniers chiffres et de celui formé par les deux premiers chiffres est de 77.

Nous allons résoudre cet exercice étape par étape.

Étape 1 : Comprendre les informations données

1. Nombre à six chiffres identique à l’envers :
   Cela signifie que le nombre est un palindrome. Un palindrome lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche. Ainsi, si le nombre est écrit \(ABCDEF\), alors : \[ A = F,\quad B = E,\quad C = D \] Le nombre peut donc être représenté comme \(ABCCBA\).

2. Somme des chiffres égale à 18 :
   La somme des chiffres du nombre \(ABCCBA\) est : \[ A + B + C + C + B + A = 2A + 2B + 2C = 18 \] Simplifions : \[ A + B + C = 9 \quad \text{(Équation 1)} \]

3. Le chiffre des dizaines est le double du chiffre des milliers :
   Dans le nombre \(ABCCBA\), le chiffre des dizaines est \(B\) et le chiffre des milliers est \(C\).
   Donc : \[ B = 2C \quad \text{(Équation 2)} \]

4. La somme des nombres formés par les deux derniers et les deux premiers chiffres est de 77 :

   • Les deux premiers chiffres forment le nombre \(AB\), qui vaut \(10A + B\).
   • Les deux derniers chiffres forment le nombre \(BA\), qui vaut \(10B + A\).

   La somme de ces deux nombres est : \[ (10A + B) + (10B + A) = 11A + 11B = 11(A + B) = 77 \] Donc : \[ A + B = 7 \quad \text{(Équation 3)} \]

Étape 2 : Résoudre le système d’équations

Nous avons maintenant les équations suivantes : \[ \begin{cases} A + B + C = 9 & \text{(Équation 1)} \\ B = 2C & \text{(Équation 2)} \\ A + B = 7 & \text{(Équation 3)} \end{cases} \]

1. Trouver \(A\) et \(B\) :
   De l’équation 3 : \[ A = 7 - B \]

2. Utiliser l’équation 2 pour exprimer \(B\) en fonction de \(C\) :
   \[ B = 2C \]

3. Substituer \(B\) dans l’équation 1 :
   \[ A + 2C + C = 9 \\ A + 3C = 9 \]

4. Remplacer \(A\) par \(7 - B = 7 - 2C\) dans l’équation ci-dessus :
   \[ (7 - 2C) + 3C = 9 \\ 7 + C = 9 \\ C = 2 \]

5. Trouver \(B\) :
   \[ B = 2C = 2 \times 2 = 4 \]

6. Trouver \(A\) :
   \[ A = 7 - B = 7 - 4 = 3 \]

Étape 3 : Construire le nombre

Nous avons trouvé : \[ A = 3, \quad B = 4, \quad C = 2 \]

Le nombre à six chiffres est donc : \[ ABCCBA = 3\,4\,2\,2\,4\,3 \]

Vérification des conditions :

1. Palindrome :
   \(342243\) lu à l’envers donne bien \(342243\).

2. Somme des chiffres :
   \(3 + 4 + 2 + 2 + 4 + 3 = 18\).

3. Chiffre des dizaines double du chiffre des milliers :
   Chiffre des dizaines \(B = 4\), chiffre des milliers \(C = 2\), et \(4 = 2 \times 2\).

4. Somme des deux premiers et deux derniers chiffres :
   \(AB = 34\) et \(BA = 43\), et \(34 + 43 = 77\).

Toutes les conditions sont satisfaites.

Conclusion

Le nombre recherché est 342243.