Exercice 111
Exercice
Trouver un nombre à deux chiffres sachant que le chiffre des dizaines est supérieur de 3 au chiffre des unités et que si on soustrait 27 au nombre, on obtient le nombre renversé. Combien de solutions existe-t-il ?
Réponse
Il existe sept nombres possibles répondant aux conditions : 30, 41, 52, 63, 74, 85 et 96.
Corrigé détaillé
Correction de l’exercice
Nous devons trouver un nombre à deux chiffres qui satisfait les conditions suivantes : 1. Le chiffre des dizaines est supérieur de 3 au chiffre des unités. 2. Si on soustrait 27 au nombre, on obtient le nombre renversé.
Nous allons procéder étape par étape pour déterminer ce nombre.
Étape 1 : Définir les variables
- Soit \(x\) le chiffre des dizaines.
- Soit \(y\) le chiffre des unités.
Ainsi, le nombre à deux chiffres peut être exprimé par la formule : \[ N = 10x + y \]
Étape 2 : Traduire la première condition en équation
La première condition stipule que le chiffre des dizaines est supérieur de 3 au chiffre des unités. On peut écrire : \[ x = y + 3 \quad (1) \]
Étape 3 : Traduire la deuxième condition en équation
La deuxième condition indique que si on soustrait 27 au nombre, on obtient le nombre renversé. Le nombre renversé s’écrit : \[ N_{\text{renversé}} = 10y + x \] Donc, selon la condition : \[ N - 27 = N_{\text{renversé}} \] En remplaçant par les expressions de \(N\) et \(N_{\text{renversé}}\) : \[ 10x + y - 27 = 10y + x \quad (2) \]
Étape 4 : Résoudre les équations
Nous avons deux équations : \[ \begin{cases} x = y + 3 \quad (1) \\ 10x + y - 27 = 10y + x \quad (2) \end{cases} \]
Remplaçons \(x\) de l’équation (1) dans l’équation (2) : \[ 10(y + 3) + y - 27 = 10y + (y + 3) \] Développons et simplifions : \[ 10y + 30 + y - 27 = 10y + y + 3 \] \[ 11y + 3 = 11y + 3 \]
Nous obtenons une identité vraie, ce qui signifie que les équations sont dépendantes et qu’il existe plusieurs solutions possibles. Cependant, comme \(x\) et \(y\) sont des chiffres (donc des entiers compris entre 0 et 9), nous devons déterminer les valeurs possibles pour \(y\).
De l’équation (1) : \[ x = y + 3 \] Puisque \(x\) doit être un chiffre, \(y + 3\) doit être inférieur ou égal à 9 : \[ y + 3 \leq 9 \Rightarrow y \leq 6 \]
Ainsi, les valeurs possibles pour \(y\) sont de 0 à 6 inclus.
Examinons chaque possibilité :
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline y & x = y + 3 & N = 10x + y \\ \hline 0 & 3 & 30 \\ 1 & 4 & 41 \\ 2 & 5 & 52 \\ 3 & 6 & 63 \\ 4 & 7 & 74 \\ 5 & 8 & 85 \\ 6 & 9 & 96 \\ \hline \end{array} \]
Vérifions quelle(s) de ces valeurs satisfont la deuxième condition \(N - 27 = N_{\text{renversé}}\) :
Pour \(N = 30\) : \[ 30 - 27 = 3 \quad \text{et} \quad N_{\text{renversé}} = 03 = 3 \quad \text{(Vrai)} \]
Pour \(N = 41\) : \[ 41 - 27 = 14 \quad \text{et} \quad N_{\text{renversé}} = 14 \quad \text{(Vrai)} \]
Pour \(N = 52\) : \[ 52 - 27 = 25 \quad \text{et} \quad N_{\text{renversé}} = 25 \quad \text{(Vrai)} \]
Pour \(N = 63\) : \[ 63 - 27 = 36 \quad \text{et} \quad N_{\text{renversé}} = 36 \quad \text{(Vrai)} \]
Pour \(N = 74\) : \[ 74 - 27 = 47 \quad \text{et} \quad N_{\text{renversé}} = 47 \quad \text{(Vrai)} \]
Pour \(N = 85\) : \[ 85 - 27 = 58 \quad \text{et} \quad N_{\text{renversé}} = 58 \quad \text{(Vrai)} \]
Pour \(N = 96\) : \[ 96 - 27 = 69 \quad \text{et} \quad N_{\text{renversé}} = 69 \quad \text{(Vrai)} \]
Toutes les valeurs vérifient la condition.
Conclusion
Il existe sept solutions possibles répondant aux conditions de l’exercice. Les nombres sont : 30, 41, 52, 63, 74, 85, et 96.