Question : Résous ces systèmes selon la méthode de ton choix.
\[ \begin{cases} 3x = 7 \\ x + z = 7 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x + z = 10 \\ x - z = 2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x = z + 2 \\ 3x - z = 5 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 2x + 3z = 5 \\ 2x + 5z = 3 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x - z = 3 \\ 2x + z = 13 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + 2z = 0 \\ 2x + 4z = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + z = 10 \\ z = \dfrac{x}{3} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 15x + 12z = 3 \\ 20x + 17z = 4 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 5x - 6z = 11 \\ 4x + 3z = -9 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 5x + 4z = 11,4 \\ x - z = -0,4 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x = 3z \\ x + z = 66 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \dfrac{90x + 85z}{2} = -650 \\ 9x + \dfrac{z}{2} = 10 \end{cases} \]
Réponses : a) x = 7/3 et z = 14/3
b) x = 4 et z = 2
c) Système impossible
d) x = 4 et z = –1
e) x = 16/3 et z = 7/3
f) Système impossible
g) x = 15/2 et z = 5/2
h) x = 1/5 et z = 0
i) x = –7/13 et z = –89/39
j) x = 49/45 et z = 67/45
k) x = 99/2 et z = 33/2
l) x = 25/12 et z = –35/2
Voici la correction détaillée de chacun des systèmes :
────────────────────────────── a) Système : 3x = 7
x + z = 7
À partir de la première équation, on isole x :
3x = 7 ⟹ x = 7/3.
On remplace x dans la deuxième équation :
(7/3) + z = 7
Pour isoler z, on soustrait 7/3 des deux côtés :
z = 7 – (7/3).
Pour soustraire, on écrit 7 sous forme de fraction de dénominateur 3
:
7 = 21/3, d’où :
z = (21 – 7)/3 = 14/3.
Solution a) : x = 7/3 et z = 14/3.
────────────────────────────── b) Système : 2x + z = 10
x – z = 2
À partir de la deuxième équation, on peut exprimer z en fonction
de x :
x – z = 2 ⟹ z = x – 2.
On remplace z dans la première équation :
2x + (x – 2) = 10
On additionne les termes en x :
3x – 2 = 10.
Ensuite, on ajoute 2 aux deux côtés :
3x = 12
et on divise par 3 :
x = 4.
On retrouve z par z = x – 2 :
z = 4 – 2 = 2.
Solution b) : x = 4 et z = 2.
────────────────────────────── c) Système : 3x = z + 2
3x – z = 5
Dans la première équation, on isole z :
z = 3x – 2.
On remplace cette expression dans la deuxième équation :
3x – (3x – 2) = 5
Développons : 3x – 3x + 2 = 5
Ce qui donne 2 = 5.
L’équation 2 = 5 est clairement impossible. Le système ne présente donc aucune solution.
Solution c) : Le système est impossible (aucune solution).
────────────────────────────── d) Système : 2x + 3z = 5
2x + 5z = 3
On soustrait la première équation de la deuxième pour éliminer x
:
(2x + 5z) – (2x + 3z) = 3 – 5
Ce qui donne : 2z = –2
et donc z = –1.
On remplace z = –1 dans la première équation :
2x + 3(–1) = 5
2x – 3 = 5
On ajoute 3 aux deux côtés :
2x = 8
Enfin, on divise par 2 :
x = 4.
Solution d) : x = 4 et z = –1.
────────────────────────────── e) Système : x – z = 3
2x + z = 13
On exprime x en fonction de z à partir de la première équation
:
x = z + 3.
On remplace dans la deuxième équation :
2(z + 3) + z = 13
Cela donne : 2z + 6 + z = 13
On regroupe : 3z + 6 = 13
On soustrait 6 :
3z = 7
Puis on divise par 3 :
z = 7/3.
On retrouve x par x = z + 3 :
x = 7/3 + 3.
Pour additionner, on écrit 3 = 9/3 :
x = (7 + 9)/3 = 16/3.
Solution e) : x = 16/3 et z = 7/3.
────────────────────────────── f) Système : x + 2z = 0
2x + 4z = 1
Remarquez que la deuxième équation est le double de la première
si le membre de droite était 0. En effet, 2(x + 2z) = 2x + 4z = 0.
Or ici, le second membre est 1 et non 0.
Cela montre une contradiction puisque la proportion entre les
coefficients n’est pas respectée pour le second membre.
Ainsi, le système n’admet aucune solution.
Solution f) : Le système est impossible (aucune solution).
────────────────────────────── g) Système : x + z = 10
z = x/3
On remplace z par x/3 dans la première équation :
x + (x/3) = 10
Pour additionner, on écrit x = 3x/3 :
(3x + x) / 3 = 10
Donc, 4x/3 = 10.
En multipliant par 3, on obtient :
4x = 30
Puis, en divisant par 4 :
x = 30/4 = 15/2.
On retrouve z avec z = x/3 :
z = (15/2)/3 = 15/6 = 5/2.
Solution g) : x = 15/2 et z = 5/2.
────────────────────────────── h) Système : 15x + 12z = 3
20x + 17z = 4
Il est possible d’éliminer l’une des variables. Pour cela,
multiplions la première équation par 20 et la deuxième par 15 afin
d’obtenir le même coefficient pour x :
Première équation : 20(15x + 12z) = 203 ⟹ 300x + 240z =
60
Deuxième équation : 15(20x + 17z) = 154 ⟹ 300x + 255z =
60
On soustrait la première équation de la deuxième :
(300x + 255z) – (300x + 240z) = 60 – 60
Ce qui donne 15z = 0, donc z = 0.
On remplace z = 0 dans la première équation :
15x + 12×0 = 3 ⟹ 15x = 3
On divise par 15 :
x = 3/15 = 1/5.
Solution h) : x = 1/5 et z = 0.
────────────────────────────── i) Système : 5x – 6z = 11
4x + 3z = –9
Pour éliminer z, multiplions la deuxième équation par 2 afin
d’obtenir 6z :
2(4x + 3z) = 2(–9) ⟹ 8x + 6z = –18.
On ajoute cette nouvelle équation à la première afin d’éliminer z
:
(5x – 6z) + (8x + 6z) = 11 + (–18)
Ce qui donne : 13x = –7
et donc x = –7/13.
Pour trouver z, on remplace x dans la deuxième équation (ou dans
la première, au choix). Utilisons 4x + 3z = –9 :
4(–7/13) + 3z = –9
Ce qui donne : –28/13 + 3z = –9.
On isole 3z :
3z = –9 + 28/13.
Pour combiner, on écrit –9 = –117/13, ainsi :
3z = (–117 + 28)/13 = –89/13
et donc z = –89/13 ÷ 3 = –89/39.
Solution i) : x = –7/13 et z = –89/39.
────────────────────────────── j) Système : 5x + 4z = 11,4
x – z = –0,4
On exprime x en fonction de z à partir de la deuxième équation
:
x – z = –0,4 ⟹ x = z – 0,4.
On remplace x dans la première équation :
5(z – 0,4) + 4z = 11,4
Développons : 5z – 2 + 4z = 11,4
Ce qui donne : 9z – 2 = 11,4.
On ajoute 2 aux deux côtés :
9z = 13,4
Et on divise par 9 :
z = 13,4/9.
Pour obtenir une fraction, on remarque que 13,4 = 67/5 (puisque 67 ÷ 5
= 13,4)
donc z = (67/5)/9 = 67/45.
On retrouve x par x = z – 0,4. Comme 0,4 = 18/45,
x = 67/45 – 18/45 = 49/45.
Solution j) : x = 49/45 et z = 67/45.
────────────────────────────── k) Système : x = 3z
x + z = 66
On remplace x dans la deuxième équation par 3z :
3z + z = 66
Ce qui donne 4z = 66.
On divise par 4 :
z = 66/4 = 33/2.
On retrouve x par x = 3z :
x = 3 × (33/2) = 99/2.
Solution k) : x = 99/2 et z = 33/2.
────────────────────────────── l) Système : (90x + 85z)/2 =
–650
9x + (z/2) = 10
Pour éliminer la fraction de la première équation, on multiplie
par 2 :
90x + 85z = –1300.
Pour la deuxième équation, on multiplie également par 2 afin
d’éliminer la fraction :
2(9x + z/2) = 210
Ce qui donne : 18x + z = 20.
On en déduit : z = 20 – 18x.
On remplace z dans l’équation 90x + 85z = –1300 :
90x + 85(20 – 18x) = –1300
Développons : 90x + 1700 – 1530x = –1300
On regroupe les termes en x :
–1440x + 1700 = –1300.
On isole le terme en x :
–1440x = –1300 – 1700 = –3000
Puis, en divisant par –1440,
x = (–3000)/(–1440) = 3000/1440.
On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 60 :
3000/60 = 50 et 1440/60 = 24, donc x = 50/24 = 25/12.
On retrouve z avec z = 20 – 18x :
z = 20 – 18(25/12)
Calculons 18(25/12) = (18×25)/12 = 450/12 = 37,5.
Pour être exact en fraction, on écrit 20 sous forme de fraction de
dénominateur 12 : 20 = 240/12.
Ainsi, z = (240 – 450)/12 = –210/12 = –35/2.
Solution l) : x = 25/12 et z = –35/2.
────────────────────────────── Résumé des solutions :
Chaque système a été résolu en détaillant les choix faits, l’isolation des variables, et l’élimination lorsque cela était nécessaire. Cette méthode pas à pas permet de clarifier la démarche pour arriver à la solution dans chaque cas.