Question : Marie et Julien ont ensemble \(200\) billes. Si Julien donnait \(5\) billes à Marie, alors Marie en aurait trois fois plus que Julien. Combien de billes chaque enfant a-t-il actuellement ?
Réponse courte :
Marie possède actuellement 145 billes et Julien en possède 55.
Correction de l’exercice :
Marie et Julien ont ensemble \(200\) billes. Si Julien donnait \(5\) billes à Marie, alors Marie en aurait trois fois plus que Julien. Combien de billes chaque enfant a-t-il actuellement ?
Étape 1 : Définir les inconnues
Commençons par définir les variables :
Étape 2 : Établir les équations
Nous avons deux informations dans l’énoncé qui nous permettent d’établir deux équations.
Total des billes :
Marie et Julien ont ensemble \(200\) billes. Donc : \[ M + J = 200 \]
Après le transfert de billes :
Si Julien donne \(5\) billes à Marie, alors :
Selon l’énoncé, après ce transfert, Marie aura trois fois plus de billes que Julien. Donc : \[ M + 5 = 3 \times (J - 5) \]
Étape 3 : Résoudre le système d’équations
Nous avons donc le système suivant : \[ \begin{cases} M + J = 200 \\ M + 5 = 3(J - 5) \end{cases} \]
a) Exprimer \(M\) en fonction de \(J\) à partir de la première équation : \[ M = 200 - J \]
b) Substituer \(M\) dans la deuxième équation : \[ 200 - J + 5 = 3(J - 5) \] \[ 205 - J = 3J - 15 \]
c) Isoler \(J\) : \[ 205 + 15 = 3J + J \] \[ 220 = 4J \] \[ J = \frac{220}{4} \] \[ J = 55 \]
d) Calculer \(M\) : \[ M = 200 - J = 200 - 55 = 145 \]
Étape 4 : Vérification
Après le transfert de billes :
Vérifions si Marie a bien trois fois plus de billes que Julien : \[ 150 = 3 \times 50 \] \[ 150 = 150 \quad \text{(Vrai)} \]
Conclusion