Résoudre les systèmes suivants :
\[ \begin{cases} x - 2y + 3z - 4u = -8 \\ -4x + y - 2z + 3u = 6 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x - 4y + z - 2u = -8 \\ 2x - 3y + 4z - u = 2 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 4x - 3z + u = 10 \\ 5y + z - 4u = 1 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3y + u = 17 \\ x + 2y + 3u = 25 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 5x - 2z = 18 \\ 3y + 4u = 9 \\ -5x + 6u = 5 \\ 2x + 3u = 8 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x + y + 2z + u = 3 \\ 2y + 3z + 4u = 4 \\ 5z - 6u = 2 \\ 4u = 1 \end{cases} \]
Voici le résumé des solutions trouvées :
1.a) x = (–4 – s + 2t)/7, y = (26 + 10s – 13t)/7, z = s, u = t (s, t ∈ ℝ)
1.b) x = 13s + 2t – 32, y = 10s + t – 22, z = s, u = t (s, t ∈ ℝ)
2.a) x = (10 + 3s – t)/4, y = (1 – s + 4t)/5, z = s, u = t (s, t ∈ ℝ)
2.b) x = 7s – 26, y = s, u = 17 – 3s (s ∈ ℝ)
3) x = 11/9, y = 43/81, z = –107/18, u = 50/27
4) x = 9/10, y = 9/20, z = 7/10, u = 1/4
Voici la correction détaillée de chaque système, avec explications pas à pas.
────────────────────────────── 1. Systèmes à 4 inconnues (x, y, z, u) avec 2 équations, solution exprimée en fonction de paramètres.
────────────────────────────── 1.a) Système : (1) x – 2y + 3z – 4u
= –8
(2) –4x + y – 2z + 3u = 6
Nous avons deux équations pour quatre inconnues. On va donc choisir deux paramètres libres. Par exemple, posons : z = s et u = t (avec s et t réels).
Étape 1. Exprimer x en fonction de y, s et t en isolant x dans (1) :
x = –8 + 2y – 3z + 4u
Comme z = s et u = t, on obtient : x = –8 + 2y – 3s + 4t.
Étape 2. Remplacer x dans (2) : (2) : –4x + y – 2z + 3u = 6
Substituons x : –4(–8 + 2y – 3s + 4t) + y – 2s + 3t = 6.
Étape 3. Développons et simplifions : –4(–8) = 32, –4(2y) =
–8y, –4(–3s) = +12s, –4(4t) = –16t.
L’équation devient : 32 – 8y + 12s – 16t + y – 2s + 3t = 6.
Regroupons les termes semblables : –8y + y = –7y, 12s – 2s =
10s, –16t + 3t = –13t. Ainsi : 32 – 7y + 10s – 13t = 6.
Étape 4. Isolons y : –7y + 10s – 13t = 6 – 32 ⟹ –7y + 10s – 13t =
–26.
Multiplions par (–1) : 7y – 10s + 13t = 26
Donc : y = (26 + 10s – 13t) / 7.
Étape 5. Remplaçons y dans l’expression de x obtenue à l’étape 1 :
x = –8 + 2[(26 + 10s – 13t)/7] – 3s + 4t. Pour simplifier, mettons
–8 sous forme de fraction sur 7 : –8 = –56/7, et de même écrire –3s =
–21s/7 et 4t = 28t/7. x = (–56 + 2(26 + 10s – 13t) – 21s + 28t) / 7.
Calculons 2(26 + 10s – 13t) = 52 + 20s – 26t. Alors : x = (–56 +
52 + 20s – 26t – 21s + 28t) / 7
= (–4 – s + 2t) / 7.
La solution générale du système 1.a s’écrit donc : x = (–4 – s + 2t)/7, y = (26 + 10s – 13t)/7, z = s, u = t, avec s, t ∈ ℝ.
────────────────────────────── 1.b) Système : (1) 3x – 4y + z – 2u
= –8
(2) 2x – 3y + 4z – u = 2
On choisit, à nouveau, z = s et u = t (paramètres libres).
Étape 1. Exprimer x en fonction de y, s et t à partir de (1) : 3x = –8 + 4y – z + 2u ⟹ x = [–8 + 4y – s + 2t] / 3.
Étape 2. Remplacer x dans (2) : 2x – 3y + 4z – u = 2
Remplaçons x = [–8 + 4y – s + 2t] / 3 : 2[–8 + 4y – s + 2t] / 3 – 3y
+ 4s – t = 2. Pour se débarrasser du dénominateur, multiplions toute
l’équation par 3 : 2(–8 + 4y – s + 2t) – 9y + 12s – 3t = 6.
Étape 3. Développons : 2(–8) = –16, 2(4y) = 8y, 2(–s) = –2s, 2(2t) = 4t. L’équation devient : –16 + 8y – 2s + 4t – 9y + 12s – 3t = 6. Regroupons : y : 8y – 9y = –y, s : –2s + 12s = 10s, t : 4t – 3t = t. On a : –16 – y + 10s + t = 6.
Étape 4. Isolons y : –y = 6 + 16 – 10s – t = 22 – 10s – t ⟹ y = 10s + t – 22.
Étape 5. Remplaçons y dans l’expression de x : x = [–8 + 4(10s + t – 22) – s + 2t] / 3. Calculons 4(10s + t – 22) = 40s + 4t – 88. Ainsi, le numérateur devient : –8 + 40s + 4t – 88 – s + 2t = (–96) + (40s – s) + (4t + 2t) = –96 + 39s + 6t. Donc, x = (39s + 6t – 96) / 3. Simplifions en écrivant chaque terme : x = 13s + 2t – 32.
La solution générale du système 1.b est donc : x = 13s + 2t – 32, y = 10s + t – 22, z = s, u = t, avec s, t ∈ ℝ.
────────────────────────────── 2. Systèmes à 4 inconnues avec deux équations.
────────────────────────────── 2.a) Système : (1) 4x – 3z + u =
10
(2) 5y + z – 4u = 1
On peut choisir ici z = s et u = t (paramètres libres).
Étape 1. D’après (1) : 4x = 10 + 3z – u = 10 + 3s – t ⟹ x = (10 + 3s – t)⁄4.
Étape 2. D’après (2) : 5y = 1 – z + 4u = 1 – s + 4t ⟹ y = (1 – s + 4t)⁄5.
La solution générale du système 2.a est : x = (10 + 3s – t)/4, y = (1 – s + 4t)/5, z = s, u = t, avec s, t ∈ ℝ.
────────────────────────────── 2.b) Système : (1) 3y + u =
17
(2) x + 2y + 3u = 25
Ici, il y a 3 inconnues (x, y, u) et 2 équations. Choisissons y = s (paramètre libre).
Étape 1. D’après (1) : u = 17 – 3y = 17 – 3s.
Étape 2. Remplaçons y et u dans (2) : x + 2s + 3(17 – 3s) =
25
x + 2s + 51 – 9s = 25
x – 7s + 51 = 25
x = 25 – 51 + 7s = 7s – 26.
La solution générale du système 2.b est : x = 7s – 26, y = s, u = 17 – 3s, avec s ∈ ℝ.
────────────────────────────── 3. Système à 4 équations et 4 inconnues :
Le système est : (1) 5x – 2z = 18
(2) 3y + 4u = 9
(3) –5x + 6u = 5
(4) 2x + 3u = 8
Observons que (1) concerne x et z, (2) concerne y et u, et (3) avec (4) lient x et u. On commence donc par résoudre le système formé par (3) et (4) pour x et u.
Étape 1. Résoudre (3) et (4) :
Isolons x à partir de (4) : 2x = 8 – 3u ⟹ x = (8 – 3u)/2.
Substituons cette expression dans (3) : –5[(8 – 3u)/2] + 6u =
5
–(40 – 15u)/2 + 6u = 5
Multiplions toute l’équation par 2 pour éliminer le dénominateur :
–(40 – 15u) + 12u = 10
–40 + 15u + 12u = 10
27u = 10 + 40 = 50 ⟹ u = 50/27.
Revenons à (4) pour trouver x : x = (8 – 3u)/2 = (8 –
3·(50/27))/2.
Calculons 3·(50/27) = 150/27.
8 = 216/27, donc : x = (216/27 – 150/27) / 2 = (66/27) / 2 = 66/54 =
11/9.
Étape 2. Trouver z grâce à (1) : 5x – 2z = 18
5·(11/9) – 2z = 18
55/9 – 2z = 18 ⟹ –2z = 18 – 55/9.
Convertissons 18 en fraction avec dénominateur 9 : 18 = 162/9. –2z =
(162 – 55)/9 = 107/9 ⟹ z = –(107/9)/2 = –107/18.
Étape 3. Trouver y grâce à (2) : 3y + 4u = 9
3y = 9 – 4u = 9 – 4·(50/27) = 9 – 200/27.
9 = 243/27, donc : 3y = (243 – 200)/27 = 43/27 ⟹ y = 43/81.
La solution du système 3 est : x = 11/9, y = 43/81, z = –107/18, u = 50/27.
────────────────────────────── 4. Système à 4 équations :
Le système est : (1) x + y + 2z + u = 3
(2) 2y + 3z + 4u = 4
(3) 5z – 6u = 2
(4) 4u = 1
Étape 1. Résoudre (4) : 4u = 1 ⟹ u = 1/4.
Étape 2. Utiliser (3) pour trouver z : 5z – 6u = 2
5z – 6·(1/4) = 2 ⟹ 5z – 6/4 = 2.
6/4 = 3/2, donc : 5z = 2 + 3/2 = (4/2 + 3/2) = 7/2 ⟹ z = (7/2)/5 =
7/10.
Étape 3. Utiliser (2) pour trouver y : 2y + 3z + 4u = 4
2y + 3·(7/10) + 4·(1/4) = 4
3·(7/10) = 21/10 et 4·(1/4) = 1, ainsi : 2y + 21/10 + 1 = 4 ⟹ 2y +
(21/10 + 10/10) = 4
2y + 31/10 = 4 ⟹ 2y = 4 – 31/10 = (40/10 – 31/10) = 9/10
y = (9/10)/2 = 9/20.
Étape 4. Enfin, utiliser (1) pour trouver x : x + y + 2z + u =
3
x + (9/20) + 2·(7/10) + 1/4 = 3.
Calculons 2·(7/10) = 14/10 = 7/5. Pour avoir le même dénominateur,
mettons toutes les fractions en vingtièmes : y = 9/20, 7/5 =
28/20, 1/4 = 5/20. Ainsi : x + (9/20 + 28/20 + 5/20) = x + 42/20 =
3.
x = 3 – 42/20 = (60/20 – 42/20) = 18/20 = 9/10.
La solution du système 4 est : x = 9/10, y = 9/20, z = 7/10, u = 1/4.
────────────────────────────── Résumé des solutions :
1.a) x = (–4 – s + 2t)/7, y = (26 + 10s – 13t)/7, z = s, u = t (s, t ∈ ℝ)
1.b) x = 13s + 2t – 32, y = 10s + t – 22, z = s, u = t (s, t ∈ ℝ)
2.a) x = (10 + 3s – t)/4, y = (1 – s + 4t)/5, z = s, u = t (s, t ∈ ℝ)
2.b) x = 7s – 26, y = s, u = 17 – 3s (s ∈ ℝ)
x = 11/9, y = 43/81, z = –107/18, u = 50/27
x = 9/10, y = 9/20, z = 7/10, u = 1/4
Chaque système a été résolu en isolant les variables et en paramétrisant les solutions lorsque le nombre d’équations était insuffisant pour déterminer toutes les inconnues.