Exercice 107
Je possède des pièces de 2 CHF et de 1 CHF dans mon porte-monnaie, au
total 21 pièces. Si les pièces de 2 CHF étaient remplacées par des
pièces de 1 CHF et inversement, j’aurais 3 CHF de moins. Combien ai-je
de pièces de chaque type ?
Réponse
Réponse :
Il y a 12 pièces de 2 CHF et 9 pièces de
1 CHF.
Corrigé détaillé
Pour résoudre ce problème, nous allons suivre une démarche méthodique
en utilisant des équations simples. Voici les étapes détaillées :
Données du problème :
- Total des pièces : 21
- Types de pièces :
- Pièces de 2 CHF
- Pièces de 1 CHF
- Condition supplémentaire : Si toutes les pièces de
2 CHF étaient remplacées par des pièces de 1 CHF et vice versa, la somme
totale d’argent diminuerait de 3 CHF.
Variables :
- Notons :
- \(x\) : nombre de pièces de
2 CHF
- \(y\) : nombre de pièces de
1 CHF
Équations :
Total des pièces : \[
x + y = 21
\]
Valeur totale avant échange :
- Valeur initiale : \(2x + y\)
CHF
- Après échange, les pièces de 2 CHF deviennent des pièces de 1 CHF,
et vice versa :
- Nouvelles pièces de 2 CHF : \(y\)
- Nouvelles pièces de 1 CHF : \(x\)
- Nouvelle valeur totale : \(2y + x\)
CHF
Selon l’énoncé, cette nouvelle valeur est 3 CHF de
moins que la valeur initiale : \[
2y + x = (2x + y) - 3
\]
Résolution des équations
:
Simplifions la deuxième équation : \[
2y + x = 2x + y - 3
\] \[
2y - y + x - 2x = -3
\] \[
y - x = -3
\] \[
y = x - 3
\]
Substituons \(y = x -
3\) dans la première équation : \[
x + (x - 3) = 21
\] \[
2x - 3 = 21
\] \[
2x = 21 + 3
\] \[
2x = 24
\] \[
x = \frac{24}{2} = 12
\]
Trouvons \(y\) en
utilisant \(y = x - 3\) :
\[
y = 12 - 3 = 9
\]
Vérification :
- Total des pièces : \(12 +
9 = 21\) (correspond)
- Valeur initiale : \(2
\times 12 + 9 = 24 + 9 = 33\) CHF
- Après échange : \(2
\times 9 + 12 = 18 + 12 = 30\) CHF
- Différence : \(33 - 30 =
3\) CHF (correspond)
Conclusion :
- Nombre de pièces de 2 CHF : \(\boxed{12}\)
- Nombre de pièces de 1 CHF : \(\boxed{9}\)