Résoudre algébriquement les systèmes d’équations suivants :
\[ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{5} = -\frac{4}{15} \\ 5x - \frac{y}{2} = \frac{13}{2} \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x - 2y = 5 \\ \frac{x}{2} - y = 9 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} \frac{x - 3}{5} = \frac{y + 2}{3} \\ 3x - \frac{y}{2} = 10 \end{cases} \]
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 6x - 16 = -4y \end{cases} \]
Nous allons résoudre chacun des systèmes étape par étape.
────────────────────────────── Système 1 :
Équations :
(1) x/3 + y/5 = –4/15
(2) 5x – y/2 = 13/2
• Pour (1), le dénominateur commun est 15. Multiplions toute
l’équation par 15 :
15 × (x/3) + 15 × (y/5) = 15 × (–4/15)
=> 5x + 3y = –4
• Pour (2), le dénominateur est 2. Multiplions toute l’équation par 2
:
2 × (5x) – 2 × (y/2) = 2 × (13/2)
=> 10x – y = 13
Ainsi, le système s’écrit :
(1’) 5x + 3y = –4
(2’) 10x – y = 13
Exprimons y en fonction de x dans (2’) :
10x – y = 13
=> –y = 13 – 10x
=> y = 10x – 13
Remplaçons y dans (1’) :
5x + 3(10x – 13) = –4
Développons : 5x + 30x – 39 = –4
=> 35x – 39 = –4
Résolvons pour x :
35x = –4 + 39
=> 35x = 35
=> x = 35/35 = 1
Trouvons y :
y = 10·1 – 13 = 10 – 13 = –3
La solution du système 1 est donc :
x = 1 et y = –3.
────────────────────────────── Système 2 :
Équations :
(1) x – 2y = 5
(2) x/2 – y = 9
Isolons x dans (1) :
x = 5 + 2y
Remplaçons x dans (2) :
(5 + 2y)/2 – y = 9
Développons la fraction : 5/2 + y – y = 5/2
On se retrouve avec :
5/2 = 9
L’égalité 5/2 = 9 est fausse.
Cela signifie qu’il n’existe aucun couple (x, y) qui satisfasse les
deux équations.
La conclusion est que le système 2 n’admet aucune solution.
────────────────────────────── Système 3 :
Équations :
(1) (x – 3)/5 = (y + 2)/3
(2) 3x – y/2 = 10
Pour (1) :
Appliquons le produit en croix :
3(x – 3) = 5(y + 2)
=> 3x – 9 = 5y + 10
Reformulons cette équation :
3x – 5y = 10 + 9
=> 3x – 5y = 19 (3)
Pour (2), éliminons la fraction en multipliant par 2 :
2 × (3x) – 2 × (y/2) = 2 × 10
=> 6x – y = 20
Nous pouvons exprimer y en fonction de x :
y = 6x – 20 (4)
Remplaçons l’expression de y de (4) dans (3) :
3x – 5(6x – 20) = 19
Développons : 3x – 30x + 100 = 19
=> –27x + 100 = 19
Résolvons pour x :
–27x = 19 – 100
=> –27x = –81
=> x = (–81)/(–27) = 3
Calculons y à l’aide de (4) :
y = 6·3 – 20 = 18 – 20 = –2
La solution du système 3 est donc :
x = 3 et y = –2.
────────────────────────────── Système 4 :
Équations :
(1) 3x + 2y = 8
(2) 6x – 16 = –4y
Observons l’équation (2). Pour la simplifier, réécrivons-la
:
6x – 16 = –4y
Ajoutons 4y des deux côtés :
6x + 4y = 16
Divisons ensuite par 2 :
3x + 2y = 8
Nous remarquons que l’équation obtenue est identique à (1).
Cela signifie que les deux équations représentent la même
relation.
Ainsi, le système ne fournit qu’une seule équation. Toute solution satisfaisant 3x + 2y = 8 est une solution du système.
Pour exprimer toutes les solutions, on peut résoudre en fonction
d’un paramètre. Par exemple, isolons y :
3x + 2y = 8
=> 2y = 8 – 3x
=> y = (8 – 3x)/2
On peut donc écrire :
Pour tout nombre réel t, on a :
x = t et y = (8 – 3t)/2
Le système 4 admet ainsi de très nombreuses solutions, celles qui sont définies par la relation y = (8 – 3x)/2.
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Pour le système 1, la solution est : x = 1 et y = –3.
Le système 2 n’a aucune solution.
Pour le système 3, la solution est : x = 3 et y = –2.
Pour le système 4, toutes les paires (x, y) vérifiant y = (8 – 3x)/2 sont solutions, c’est-à-dire : x = t et y = (8 – 3t)/2, pour tout nombre réel t.
Cette démarche détaillée permet de bien comprendre la manière de procéder pour résoudre ces systèmes d’équations.