Exercice 104

Un père a deux enfants. Le fils a 5 ans de moins que sa sœur, qui a elle-même 20 ans de moins que le père. La somme de leurs âges est supérieure à 70 ans. L’âge du père est plus du double de celui de sa fille. Quels sont leurs âges ? (Les âges sont exprimés en nombres entiers.)

Réponse

Le père a 39 ans, la fille 19 ans et le fils 14 ans.

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, suivons une démarche étape par étape en utilisant les informations fournies.

Énoncé du problème

Un père a deux enfants : - Le fils a 5 ans de moins que sa sœur. - La sœur a 20 ans de moins que le père. - La somme de leurs âges est supérieure à 70 ans. - L’âge du père est plus du double de celui de sa fille. - Tous les âges sont des nombres entiers.

Nous devons déterminer les âges du père, de la fille et du fils.

Définition des variables

Pour faciliter la résolution, définissons les variables suivantes : - Soit \(P\) l’âge du père. - Soit \(F\) l’âge de la fille. - Soit \(S\) l’âge du fils.

Établissement des équations

D’après l’énoncé, nous pouvons établir les relations suivantes :

1. La sœur a 20 ans de moins que le père : \[ F = P - 20 \]

2. Le fils a 5 ans de moins que sa sœur : \[ S = F - 5 \] En substituant la première équation : \[ S = (P - 20) - 5 = P - 25 \]

3. La somme de leurs âges est supérieure à 70 ans : \[ P + F + S > 70 \] En substituant les valeurs de \(F\) et \(S\) : \[ P + (P - 20) + (P - 25) > 70 \\ 3P - 45 > 70 \] En résolvant pour \(P\) : \[ 3P > 115 \\ P > \frac{115}{3} \\ P > 38,\!33 \] Comme \(P\) doit être un entier, nous avons : \[ P \geq 39 \]

4. L’âge du père est plus du double de celui de sa fille : \[ P > 2F \] En substituant \(F = P - 20\) : \[ P > 2(P - 20) \\ P > 2P - 40 \\ -P > -40 \\ P < 40 \]

Détermination de l’âge du père

Nous avons deux inégalités pour \(P\) : \[ 39 \leq P < 40 \] Ainsi, \(P = 39\) ans.

Calcul des âges de la fille et du fils

1. Âge de la fille : \[ F = P - 20 = 39 - 20 = 19 \text{ ans} \]

2. Âge du fils : \[ S = P - 25 = 39 - 25 = 14 \text{ ans} \]

Vérification des conditions

1. Somme des âges : \[ P + F + S = 39 + 19 + 14 = 72 > 70 \] La condition est satisfaite.

2. Le père a plus du double de l’âge de sa fille : \[ 39 > 2 \times 19 \\ 39 > 38 \] La condition est également satisfaite.

Conclusion

Les âges sont donc : - Père : 39 ans - Fille : 19 ans - Fils : 14 ans