Exercice 103

Question :

Entoure en vert les couples qui sont solutions de l’équation \(2x - 5y = 10\).
Entoure en orange les couples qui sont solutions de l’équation \(3x + y = 7\).
Déduis-en un couple solution du système \[ \begin{cases} 2x - 5y = 10 \\ 3x + y = 7 \end{cases} \] Une solution du système est .

Réponse

Réponse succincte :

Une solution du système est \(\left( \frac{45}{17}, -\frac{16}{17} \right)\).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice :

Question :

Entoure en vert les couples qui sont solutions de l’équation \(2x - 5y = 10\).
Entoure en orange les couples qui sont solutions de l’équation \(3x + y = 7\).
Déduis-en un couple solution du système \[ \begin{cases} 2x - 5y = 10 \\ 3x + y = 7 \end{cases} \] Une solution du système est .

a. Trouver les solutions de l’équation \(2x - 5y = 10\)

Pour déterminer quels couples \((x, y)\) sont solutions de l’équation \(2x - 5y = 10\), nous devons vérifier si, en remplaçant \(x\) et \(y\) par les valeurs du couple, l’égalité est vérifiée.

Étapes :

Choisir un couple \((x, y)\).
Remplacer \(x\) et \(y\) dans l’équation \(2x - 5y = 10\).
Calculer le côté gauche (\(2x - 5y\)) et comparer avec le côté droit (\(10\)).
Si les deux côtés sont égaux, le couple est une solution.

Exemple :

Supposons que l’on teste le couple \((5, 0)\).

Remplaçons \(x\) par 5 et \(y\) par 0 dans l’équation : \[ 2 \times 5 - 5 \times 0 = 10 - 0 = 10 \]
Comparons avec le côté droit de l’équation qui est également 10.
Comme \(10 = 10\) est vrai, le couple \((5, 0)\) est une solution.

Conclusion :

Entourez en vert tous les couples qui, après vérification de cette manière, satisfont l’équation \(2x - 5y = 10\).

b. Trouver les solutions de l’équation \(3x + y = 7\)

De même que pour la partie a, nous devons vérifier quels couples \((x, y)\) satisfont l’équation \(3x + y = 7\).

Étapes :

Choisir un couple \((x, y)\).
Remplacer \(x\) et \(y\) dans l’équation \(3x + y = 7\).
Calculer le côté gauche (\(3x + y\)) et comparer avec le côté droit (\(7\)).
Si les deux côtés sont égaux, le couple est une solution.

Exemple :

Supposons que l’on teste le couple \((2, 1)\).

Remplaçons \(x\) par 2 et \(y\) par 1 dans l’équation : \[ 3 \times 2 + 1 = 6 + 1 = 7 \]
Comparons avec le côté droit de l’équation qui est également 7.
Comme \(7 = 7\) est vrai, le couple \((2, 1)\) est une solution.

Conclusion :

Entourez en orange tous les couples qui, après vérification de cette manière, satisfont l’équation \(3x + y = 7\).

c. Déduire une solution du système

Nous devons trouver un couple \((x, y)\) qui satisfait simultanément les deux équations du système : \[ \begin{cases} 2x - 5y = 10 \quad (1)\\ 3x + y = 7 \quad (2) \end{cases} \]

Méthode de résolution :

Nous allons utiliser la méthode de substitution.

Étapes :

Isoler une variable dans l’une des équations.
- Prenons l’équation (2) : \(3x + y = 7\).
- Isolons \(y\) : \[ y = 7 - 3x \]
Substituer cette expression dans l’autre équation.
- Remplaçons \(y\) par \(7 - 3x\) dans l’équation (1) : \[ 2x - 5(7 - 3x) = 10 \]
Résoudre l’équation obtenue pour \(x\) : \[ 2x - 35 + 15x = 10 \] \[ 17x - 35 = 10 \] \[ 17x = 45 \] \[ x = \frac{45}{17} \] (Cependant, ce résultat n’est pas un nombre entier. Vérifions si une erreur a été commise.)

Recalcul : \[ 2x - 5(7 - 3x) = 10 \] \[ 2x - 35 + 15x = 10 \] \[ 17x = 45 \] \[ x = \frac{45}{17} \] Ce résultat indique que le système n’a pas de solution avec des entiers simples. Reconsidérons la méthode.

Alternative : Méthode d’élimination

Multiplions l’équation (2) par 5 pour aligner les coefficients de \(y\) : \[ 5(3x + y) = 5 \times 7 \] \[ 15x + 5y = 35 \quad (3) \]

Ajoutons les équations (1) et (3) : \[ (2x - 5y) + (15x + 5y) = 10 + 35 \] \[ 17x = 45 \] \[ x = \frac{45}{17} \] Comme précédemment, nous obtenons une valeur de \(x\) non entière. Il semble qu’il y ait une erreur dans le système proposé, car avec ces équations, les solutions ne sont pas des nombres entiers simples.

Conclusion :

Si le système est tel qu’il est présenté, une solution du système est \(x = \frac{45}{17}\) et \(y = 7 - 3 \times \frac{45}{17} = \frac{119 - 135}{17} = -\frac{16}{17}\).

Toutefois, si l’on souhaite des solutions avec des entiers, il est possible que les équations initiales contiennent une erreur. Vérifiez les équations pour vous assurer de leur exactitude.

Solution proposée :

Une solution du système est \(\left( \frac{45}{17}, -\frac{16}{17} \right)\).

Remarque :

Dans un contexte de collège, les systèmes d’équations sont généralement conçus pour avoir des solutions entières ou rationnelles simples. Assurez-vous que les équations fournies sont correctes. Si une erreur est détectée dans l’énoncé, il est important de la corriger avant de poursuivre la résolution.