Déterminer les dimensions d’un parallélépipède rectangle sachant que :
La résolution de ce problème peut sembler difficile. On peut alors chercher trois entiers dont la somme est 12 et le produit est 60.
Les dimensions du parallélépipède rectangle sont 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Pour déterminer les dimensions d’un parallélépipède rectangle avec les conditions données, suivons une démarche rigoureuse étape par étape.
Nous savons que : - La somme des longueurs de ses arêtes est de 48 cm. - L’aire totale de ses faces est de \(94\, \mathrm{cm}^{2}\). - Son volume est de \(60\, \mathrm{cm}^{3}\).
Nous cherchons à déterminer les longueurs des trois dimensions (longueur \(a\), largeur \(b\) et hauteur \(c\)) de ce parallélépipède rectangle.
Un parallélépipède rectangle possède 12 arêtes : - 4 arêtes de longueur \(a\), - 4 arêtes de longueur \(b\), - 4 arêtes de longueur \(c\).
La somme totale des longueurs des arêtes est donc : \[ 4a + 4b + 4c = 48\, \text{cm} \] En factorisant par 4, on obtient : \[ a + b + c = \frac{48}{4} = 12\, \text{cm} \] Conclusion : \[ a + b + c = 12\, \text{cm} \]
Le volume \(V\) d’un parallélépipède rectangle est donné par : \[ V = a \times b \times c = 60\, \mathrm{cm}^{3} \] Conclusion : \[ a \times b \times c = 60 \]
L’aire totale \(A\) des faces d’un parallélépipède rectangle est calculée par : \[ A = 2(ab + ac + bc) = 94\, \mathrm{cm}^{2} \] Divisons les deux côtés par 2 pour simplifier : \[ ab + ac + bc = \frac{94}{2} = 47 \] Conclusion : \[ ab + ac + bc = 47 \]
Nous avons les équations suivantes : \[ \begin{cases} a + b + c = 12 \\ ab + ac + bc = 47 \\ a \times b \times c = 60 \end{cases} \] Cherchons trois entiers positifs \(a\), \(b\), et \(c\) tels que : - Leur somme est 12, - Leur produit est 60.
Liste des triplets possibles : - \(1, 2, 9\) : \(1 + 2 + 9 = 12\), \(1 \times 2 \times 9 = 18\) (invalide) - \(1, 3, 8\) : \(1 + 3 + 8 = 12\), \(1 \times 3 \times 8 = 24\) (invalide) - \(1, 4, 7\) : \(1 + 4 + 7 = 12\), \(1 \times 4 \times 7 = 28\) (invalide) - \(1, 5, 6\) : \(1 + 5 + 6 = 12\), \(1 \times 5 \times 6 = 30\) (invalide) - \(2, 2, 8\) : \(2 + 2 + 8 = 12\), \(2 \times 2 \times 8 = 32\) (invalide) - \(2, 3, 7\) : \(2 + 3 + 7 = 12\), \(2 \times 3 \times 7 = 42\) (invalide) - \(3, 4, 5\) : \(3 + 4 + 5 = 12\), \(3 \times 4 \times 5 = 60\) (valide)
Conclusion : Les dimensions possibles sont 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Vérifions que ces dimensions satisfont également l’aire totale donnée.
Calcul de \(ab + ac + bc\) : \[ ab + ac + bc = (3 \times 4) + (3 \times 5) + (4 \times 5) = 12 + 15 + 20 = 47 \] Calcul de l’aire totale : \[ A = 2(ab + ac + bc) = 2 \times 47 = 94\, \mathrm{cm}^{2} \] Conclusion : Les dimensions \(3\, \text{cm}\), \(4\, \text{cm}\) et \(5\, \text{cm}\) satisfont toutes les conditions du problème.
Les dimensions du parallélépipède rectangle sont : - Longueur \(a\) : 3 cm - Largeur \(b\) : 4 cm - Hauteur \(c\) : 5 cm