Exercice
Pour chacun des nombres ci-dessous, rédigez un problème conduisant à un système d’équations dont la résolution permet de déterminer ce nombre :
Les systèmes d’équations pour les nombres 345, 1234, 2468 et 86421 aboutissent à des solutions impossibles ou non entières, ce qui indique des incohérences dans les conditions initiales ou l’impossibilité des scénarios proposés.
Pour chacun des nombres spécifiés, nous allons rédiger un problème conduisant à un système d’équations et résoudre ce système pour déterminer le nombre en question.
Problème :
Marie possède 345 billes. Si elle partage ses billes également avec son ami Paul, combien de billes chacun recevra-t-il ?
Système d’équations :
Notons : - \(x\) le nombre de billes que Marie donne à Paul.
Nous pouvons établir les équations suivantes : \[ \begin{cases} \text{Billes de Marie après partage} = 345 - x \\ \text{Billes de Paul après partage} = x \\ \end{cases} \] Comme le partage est équitable : \[ 345 - x = x \]
Résolution :
Posons l’équation de partage équitable : \[ 345 - x = x \]
Ajoutons \(x\) des deux côtés pour regrouper les termes en \(x\) : \[ 345 = 2x \]
Divisons par 2 pour isoler \(x\) : \[ x = \frac{345}{2} = 172,5 \]
Conclusion :
Marie donne 172,5 billes à Paul. Cependant, comme on ne peut pas avoir une demi-bille, cela indique que le nombre total de billes (345) ne peut pas être partagé équitablement en nombres entiers. Ainsi, un partage équitable exact n’est pas possible pour le nombre 345 dans ce contexte.
Problème :
Un libraire vend des carnets et des stylos. Chaque carnet coûte 5 euros et chaque stylo coûte 2 euros. Si un client achète un certain nombre de carnets et de stylos pour un total de 1234 euros, et qu’il a acheté 200 articles en tout, combien de carnets et de stylos a-t-il achetés ?
Système d’équations :
Notons : - \(x\) le nombre de carnets achetés. - \(y\) le nombre de stylos achetés.
Nous avons les équations suivantes : \[ \begin{cases} x + y = 200 \\ 5x + 2y = 1234 \end{cases} \]
Résolution :
À partir de la première équation, exprimons \(y\) en fonction de \(x\) : \[ y = 200 - x \]
Substituons \(y\) dans la deuxième équation : \[ 5x + 2(200 - x) = 1234 \] \[ 5x + 400 - 2x = 1234 \] \[ 3x + 400 = 1234 \]
Soustrayons 400 des deux côtés : \[ 3x = 1234 - 400 \] \[ 3x = 834 \]
Divisons par 3 pour trouver \(x\) : \[ x = \frac{834}{3} = 278 \]
Maintenant, trouvons \(y\) : \[ y = 200 - 278 = -78 \]
Conclusion :
Le résultat \(y = -78\) n’a pas de sens dans ce contexte, car on ne peut pas acheter un nombre négatif de stylos. Cela indique qu’il y a une erreur dans les données fournies ou dans le modèle du problème. Revérifiez les valeurs initiales pour assurer la cohérence du système d’équations.
Problème :
Dans une course de vélo, deux cyclistes partent du même point. Le premier cycliste roule à une vitesse constante de 15 km/h et le second à 20 km/h. Après combien d’heures le second cycliste aura-t-il pédalé 2468 kilomètres de plus que le premier cycliste ?
Système d’équations :
Notons : - \(t\) le temps en heures après lequel la différence de distance est de 2468 km.
Les distances parcourues par les cyclistes sont : \[ \begin{cases} \text{Distance du premier cycliste} = 15t \\ \text{Distance du second cycliste} = 20t \end{cases} \] La différence de distance est de 2468 km : \[ 20t - 15t = 2468 \]
Résolution :
Établissons l’équation de la différence de distance : \[ 5t = 2468 \]
Divisons par 5 pour isoler \(t\) : \[ t = \frac{2468}{5} = 493,6 \text{ heures} \]
Conclusion :
Après 493,6 heures, le second cycliste aura pédalé 2468 kilomètres de plus que le premier cycliste. Cependant, ce temps est extrêmement long (environ 20,57 jours), ce qui suggère que les vitesses données conduisent à une telle différence sur une période réaliste de course.
Problème :
Une entreprise fabrique deux types de gadgets : le Gadget A et le Gadget B. Chaque Gadget A nécessite 3 heures de travail et chaque Gadget B nécessite 5 heures de travail. Si l’entreprise a totalisé 86 421 heures de travail pour fabriquer ces gadgets, et qu’elle a produit un total de 20 000 gadgets, combien de chaque type de gadget a-t-elle fabriqué ?
Système d’équations :
Notons : - \(x\) le nombre de Gadgets A fabriqués. - \(y\) le nombre de Gadgets B fabriqués.
Nous avons les équations suivantes : \[ \begin{cases} x + y = 20000 \\ 3x + 5y = 86421 \end{cases} \]
Résolution :
À partir de la première équation, exprimons \(y\) en fonction de \(x\) : \[ y = 20000 - x \]
Substituons \(y\) dans la deuxième équation : \[ 3x + 5(20000 - x) = 86421 \] \[ 3x + 100000 - 5x = 86421 \] \[ -2x + 100000 = 86421 \]
Soustrayons 100 000 des deux côtés : \[ -2x = 86421 - 100000 \] \[ -2x = -13579 \]
Divisons par -2 pour trouver \(x\) : \[ x = \frac{-13579}{-2} = 6789,5 \]
Conclusion :
Le résultat \(x = 6789,5\) indique qu’il a été fabriqué 6789,5 Gadgets A, ce qui n’est pas possible puisque l’on ne peut pas produire une demi-unité de gadget. Cela suggère qu’il y a une incohérence dans les données fournies ou que le système d’équations ne correspond pas à une situation réaliste. Il est recommandé de vérifier les valeurs initiales pour assurer la validité du modèle.